Calcule o volume da região delimitada superiormente pelo plano z=2-x-y e inferiormente pelo quadrado [0,1] \times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede o volume da região em \mathbb{R}^3 delimitada superiormente pelo plano
z = 2 - x - y
e inferiormente pelo quadrado D = [0,1]\times[0,1] no plano z=0.
Isso é um problema de cálculo de volume sob uma superfície por meio de uma integral dupla sobre D.

Passo 2

A fórmula geral para o volume de uma região sob z=f(x,y) e acima de z=0 é
V = \iint_{D} \bigl(f(x,y)-0\bigr)\,dA.
Aqui f(x,y)=2-x-y e D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1\}.
Portanto,
V = \iint_{D} (2 - x - y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{1} (2 - x - y)\,dy\,dx.

Passo 3

Primeiro integramos em y:
\int_{y=0}^{1} (2 - x - y)\,dy = \Bigl[\,2y - x y - \tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} = 2 - x - \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} - x.

Passo 4

Agora integramos em x:
V = \int_{x=0}^{1} \Bigl(\tfrac{3}{2} - x\Bigr)\,dx = \Bigl[\;\tfrac{3x}{2} - \tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2} = 1.

Resposta

O volume da região é 1.

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