Exercícios adicionais
- Um conjunto
tem conteúdo nulo, se para cada
existir uma quantidade finita de retângulos
em
tais que
onde
denota a área do retângulo
. Usando essa definição prove que
(a)
tem conteúdo nulo.
(b) Se
tem conteúdo nulo e
, então
também tem conteúdo nulo.
(c) Se ambos
e
tem conteúdo nulo, então
e
têm conteúdo nulo.
(d) Se todos os conjuntos
tem conteúdo nulo, então
tem conteúdo nulo.
(a)
(b) Se
(c) Se ambos
(d) Se todos os conjuntos
Passo 1
O enunciado define que um conjunto
tem conteúdo nulo se, para todo
, existe uma quantidade finita de retângulos
tais que
e
. Vamos usar exatamente essa definição para provar as propriedades (a)–(d).
Passo 2
Prova de (a):
tem conteúdo nulo.
Dado qualquer , basta tomar a coleção de retângulos vazia (ou seja,
). Então
é trivial e
. Logo
tem conteúdo nulo.
Dado qualquer
Passo 3
Prova de (b): se
tem conteúdo nulo e
, então
tem conteúdo nulo.
Dado , como
tem conteúdo nulo existe uma família finita de retângulos
cobrindo
com
. Mas então
e a mesma soma de áreas serve para mostrar que tem conteúdo nulo.
Dado
e a mesma soma de áreas serve para mostrar que
Passo 4
Prova de (c): se
e
têm conteúdo nulo, então
e
têm conteúdo nulo.
Para : dado
, use metade de
para cobrir
e metade para cobrir
. Ou seja, existam retângulos
cobrindo
com
e
cobrindo
com
. Então
Para
e
logo
tem conteúdo nulo.
Para : note que
, e como
tem conteúdo nulo, pelo passo (b) qualquer subconjunto de
, em particular
, também tem conteúdo nulo.
Para
Passo 5
Prova de (d): se
têm conteúdo nulo, então
tem conteúdo nulo.
Fazemos por indução finita ou diretamente: dado , para cada
existe cobertura finita de
por retângulos cuja soma de áreas é menor que
. Reunindo todas essas coberturas, cobrimos
e a soma total das áreas é menor que
Fazemos por indução finita ou diretamente: dado
Logo
tem conteúdo nulo.
Resposta
As quatro propriedades foram demonstradas usando diretamente a definição de conteúdo nulo.