Exercícios adicionais

  1. Um conjunto A \subset \mathbb{R}^{2} tem conteúdo nulo, se para cada \varepsilon>0 existir uma quantidade finita de retângulos R_{1}, \ldots, R_{n} em \mathbb{R}^{2} tais que
A \subset R_{1} \cup R_{2} \cup \cdots \cup R_{n} \quad \text { e } \quad \sum_{j=1}^{n} m\left(R_{j}\right)<\varepsilon
onde m\left(R_{j}\right) denota a área do retângulo R_{j}. Usando essa definição prove que
(a) \emptyset tem conteúdo nulo.
(b) Se A tem conteúdo nulo e B \subset A, então B também tem conteúdo nulo.
(c) Se ambos A e B tem conteúdo nulo, então A \cup B e A \cup B têm conteúdo nulo.
(d) Se todos os conjuntos A_{1}, A_{2}, \ldots A_{k} tem conteúdo nulo, então A_{1} \cup A_{2} \cup \ldots \cup A_{k} tem conteúdo nulo.

Passo 1

O enunciado define que um conjunto A\subset\mathbb{R}^2 tem conteúdo nulo se, para todo \varepsilon>0, existe uma quantidade finita de retângulos R_1,\dots,R_n tais que A\subset R_1\cup\cdots\cup R_n e \sum_{j=1}^n m(R_j)<\varepsilon. Vamos usar exatamente essa definição para provar as propriedades (a)–(d).

Passo 2

Prova de (a): \emptyset tem conteúdo nulo.
Dado qualquer \varepsilon>0, basta tomar a coleção de retângulos vazia (ou seja, n=0). Então \emptyset\subset\bigcup_{j=1}^0R_j é trivial e \sum_{j=1}^0 m(R_j)=0<\varepsilon. Logo \emptyset tem conteúdo nulo.

Passo 3

Prova de (b): se A tem conteúdo nulo e B\subset A, então B tem conteúdo nulo.
Dado \varepsilon>0, como A tem conteúdo nulo existe uma família finita de retângulos R_1,\dots,R_n cobrindo A com \sum m(R_j)<\varepsilon. Mas então B\subset A\subset\bigcup_{j=1}^n R_j
e a mesma soma de áreas serve para mostrar que B tem conteúdo nulo.

Passo 4

Prova de (c): se A e B têm conteúdo nulo, então A\cup B e A\cap B têm conteúdo nulo.
Para A\cup B: dado \varepsilon>0, use metade de \varepsilon para cobrir A e metade para cobrir B. Ou seja, existam retângulos R_1,\dots,R_n cobrindo A com \sum m(R_j)<\varepsilon/2 e S_1,\dots,S_m cobrindo B com \sum m(S_k)<\varepsilon/2. Então
A\cup B\subset\bigcup_{j=1}^n R_j\;\cup\;\bigcup_{k=1}^m S_k
e
\sum_{j=1}^n m(R_j)+\sum_{k=1}^m m(S_k)<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon,
logo A\cup B tem conteúdo nulo.
Para A\cap B: note que A\cap B\subset A, e como A tem conteúdo nulo, pelo passo (b) qualquer subconjunto de A, em particular A\cap B, também tem conteúdo nulo.

Passo 5

Prova de (d): se A_1,\dots,A_k têm conteúdo nulo, então \bigcup_{i=1}^k A_i tem conteúdo nulo.
Fazemos por indução finita ou diretamente: dado \varepsilon>0, para cada i=1,\dots,k existe cobertura finita de A_i por retângulos cuja soma de áreas é menor que \varepsilon/k. Reunindo todas essas coberturas, cobrimos \bigcup_{i=1}^k A_i e a soma total das áreas é menor que
k\cdot\frac\varepsilon k=\varepsilon.
Logo \bigcup_{i=1}^k A_i tem conteúdo nulo.

Resposta

As quatro propriedades foram demonstradas usando diretamente a definição de conteúdo nulo.

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