Calcule as integrais duplas nos retngulos indicados:
\iint_{R}(4-x-y) d x d y, \quad R=[0,2] \times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de (4 - x - y) sobre o retângulo
R = [0,2] \times [0,1].
O conteúdo é integração dupla e usaremos o Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada e resolver passo a passo.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\iint_{R}(4 - x - y)\,dx\,dy = \int_{x=0}^{2}\Bigl(\int_{y=0}^{1}(4 - x - y)\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{y=0}^{1}(4 - x - y)\,dy = \int_{0}^{1}(4 - x)\,dy \;-\;\int_{0}^{1}y\,dy = (4 - x)\,y\Big|_{0}^{1} \;-\;\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} = (4 - x)\;-\;\frac{1}{2} = \frac{7}{2}-x.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{x=0}^{2}\Bigl(\tfrac{7}{2}-x\Bigr)\,dx = \frac{7}{2}\,x\Big|_{0}^{2} - \frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} = \Bigl(7 - 0\Bigr) - \Bigl(\frac{4}{2} - 0\Bigr) = 7 - 2 = 5.

Resposta

O valor da integral é 5.

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