Calcule as integrais duplas nos retngulos indicados:
\iint_{R} e^{x-y} d x d y, \quad R=[0, \ln 2] \times[0, \ln 2]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} e^{x - y}\,dx\,dy
no retângulo
R = [0,\ln 2]\times[0,\ln 2].
O conteúdo envolvido é aplicação do Teorema de Fubini, que nos permite escrever a integral dupla como iterada, e depois resolver integrais simples em x e em y.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos trocar a ordem de integração ou separá-la em duas integrais iteradas. Escolhendo primeiro integrar em x, temos
\iint_{R} e^{x - y}\,dx\,dy = \int_{y=0}^{\ln 2}\Bigl[\int_{x=0}^{\ln 2} e^{x - y}\,dx\Bigr]dy.

Passo 3

Na integral interna em x, y é tratado como constante. Assim,
\int_{x=0}^{\ln 2} e^{x - y}\,dx = e^{-y}\int_{0}^{\ln 2} e^{x}\,dx = e^{-y}\bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{\ln 2} = e^{-y}\bigl(e^{\ln 2}-1\bigr) = e^{-y}(2-1) = e^{-y}.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{0}^{\ln 2} e^{-y}\,dy = \bigl[-e^{-y}\bigr]_{0}^{\ln 2} = \bigl(-e^{-\ln 2}\bigr)-\bigl(-e^{0}\bigr) = -\tfrac12 +1 = \tfrac12.

Resposta

\iint_{R} e^{x - y}\,dx\,dy = \tfrac12.

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