Questão 4(\mathbf{2}, \mathbf{5}) : Considere a família de funções f(x)=\operatorname{sen}(a x)+e^{a x}, em que a \in \mathbb{R}.
(a) Calcule a curvatura em x=0 para cada membro dessa família;
(b) Em qual/quais valor(es) de a a curvatura em x=0 é máxima? Justifique.

Passo 1

O enunciado considera a família de funções
f(x)=\sin(a x)+e^{a x},\quad a\in\mathbb{R},
e pede (a) a curvatura em x=0 e (b) o(s) valor(es) de a que maximizam essa curvatura.
O conteúdo necessário é a fórmula da curvatura de um gráfico y=f(x):
\kappa(x)=\frac{\bigl|f''(x)\bigr|}{\bigl(1+[f'(x)]^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 2

Calculemos f'(x) e f''(x), depois avaliaremos em x=0:
f'(x)=a\cos(a x)+a\,e^{a x},\qquad f''(x)=-a^2\sin(a x)+a^2\,e^{a x}.
Em x=0 temos
f'(0)=a\cdot1 + a\cdot1 = 2a,\qquad f''(0)= -a^2\cdot0 + a^2\cdot1 = a^2.
Substituindo na fórmula da curvatura em x=0:
\kappa(0) =\frac{\bigl|f''(0)\bigr|}{\bigl(1+[f'(0)]^2\bigr)^{3/2}} =\frac{a^2}{\bigl(1+(2a)^2\bigr)^{3/2}} =\frac{a^2}{(1+4a^2)^{3/2}}.

Passo 3

Agora maximizamos
\kappa(a)=\frac{a^2}{(1+4a^2)^{3/2}}
em a\in\mathbb{R}. Como \kappa(a) depende de a^2, basta considerar t=|a|\ge0 e
h(t)=\frac{t^2}{(1+4t^2)^{3/2}}.
Derivando em relação a t e igualando a zero:
h'(t) =\frac{2t(1+4t^2)^{3/2}-t^2\cdot\frac{3}{2}(1+4t^2)^{1/2}\cdot8t}{(1+4t^2)^3} =0 \;\Longrightarrow\; t\,(1-2t^2)=0 \;\Longrightarrow\; t=0\;\text{ou}\;t=\frac{1}{\sqrt2}.

Passo 4

Verificamos que h(0)=0 e \lim_{t\to\infty}h(t)=0, logo o único máximo positivo ocorre em
t=\frac{1}{\sqrt2} \;\Longrightarrow\; |a|=\frac{1}{\sqrt2} \;\Longrightarrow\; a=\pm\frac{1}{\sqrt2}.

Resposta

(a) \displaystyle\kappa(0)=\frac{a^2}{(1+4a^2)^{3/2}}.
(b) A curvatura em x=0 é máxima para \displaystyle a=\pm\frac{1}{\sqrt2}.

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