Calcule as integrais duplas a seguir e esboce a região de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
e esboçar a região de integração. O conteúdo envolve interpretação da região em planos
, troca da ordem de integração e uso de substituição na integral simples resultante.
Passo 2
Analisando os limites internos, temos
e
. A desigualdade
equivale a
. Logo a região
é
Esboço da região:
y
|
\(1\) | .
| . |
| . |
| . |
\(0+\)._______|________ x
\[01\]
Está sombreada a área sob a parábola
entre
e
, acima de
.
Passo 3
Vamos trocar a ordem de integração. Para cada
,
varia de
até
. Assim
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Logo a integral reduz-se a
Fazemos a substituição
, de onde
, então
e, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Resposta
O valor da integral é
.
A região de integração é o conjunto de
com
e
, ou seja, a área sob a parábola
entre
e
.
A região de integração