Calcule as integrais duplas a seguir e esboce a região de integração.
integral0^1 integralraizy^1 sin (pi x^2)x d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1integralraizy^1sinl(pi x^2r)x,dx,dy
e esboçar a região de integração. O conteúdo envolve interpretação da região em planos xy, troca da ordem de integração e uso de substituição na integral simples resultante.

Passo 2

Analisando os limites internos, temos e . A desigualdade equivale a . Logo a região é
Esboço da região:
    y
    |
  \(1\) |        .
    |      .  |
    |    .    |
    |  .      |
  \(0+\)._______|________ x
\[01\]
Está sombreada a área sob a parábola entre e , acima de .

Passo 3

Vamos trocar a ordem de integração. Para cada xin[0,1], y varia de 0 até x^2. Assim
integral0^1integralraizy^1sin(pi x^2)x,dx,dy =integralx=0^1integraly=0^x^2sin(pi x^2)x,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em y:
integraly=0^x^2sin(pi x^2)x,dy =sin(pi x^2)xl[yr]0^x^2 =sin(pi x^2)x,x^2 =x,sin(pi x^2)
Logo a integral reduz-se a
integral0^1x,sin(pi x^2),dx
Fazemos a substituição u=pi x^2, de onde du=2pi x,dx, então x,dx=du/(2pi) e, quando x vai de 0 a 1, u vai de 0 a pi. Assim
integral0^1x,sin(pi x^2),dx =integral0^pisin(u),du2pi =12pil[-cos(u)r]0^pi =12pil(-cospi+cos0r) =22pi =1pi

Resposta

O valor da integral é 1pi.
A região de integração D é o conjunto de (x,y) com 0<= x<=1 e 0<= y<= x^2, ou seja, a área sob a parábola y=x^2 entre x=0 e x=1.

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