Considere a função f dada por
f(x)=sumn=0^+infty x^nn!
Prove que, para todo x no dominio de f
f^prime(x)=sumn=1^+infty x^n-1(n-1)!=sumn=0^+infty x^nn!

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=sumn=0^+inftyx^nn!
e pede para mostrar que
f'(x)=sumn=1^+inftyx^n-1(n-1)! =sumn=0^+inftyx^nn!
O conteúdo principal é a diferenciação termo a termo de uma série de potências, o que requer verificar convergência uniforme em intervalos compactos.

Passo 2

Verificamos que a série tem raio de convergência infinito pelo teste da razão: para an=x^n/n!,
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x|^n+1/(n+1)!|x|^n/n! =limntoinfty|x|n+1=0<1
Logo, converge para todo x. Ademais, em qualquer intervalo [-R,R] temos
|x^nn!|<=R^nn!,
e sumn=0^infty R^n/n!=e^R<+infty, de modo que por o Teste de Weierstrass a série converge uniformemente em [-R,R].

Passo 3

Pela convergência uniforme em cada compactado interior, pode-se diferenciar termo a termo. Ou seja,
f'(x)=sumn=0^+inftyl(tfracx^nn!r)'

Passo 4

Calculamos a derivada de cada termo. Para n>=1,
l(tfracx^nn!r)'=n,x^n-1n! =x^n-1(n-1)!,
e para n=0 temos derivada zero. Assim
f'(x)=sumn=1^+inftyx^n-1(n-1)!

Passo 5

Basta fazer a troca de índice k=n-1. Então, quando n varia de 1 até infty, k varia de 0 até infty, e
f'(x)=sumk=0^+inftyx^kk! =f(x)

Resposta

f'(x)=sumn=1^+inftyx^n-1(n-1)! =sumn=0^+inftyx^nn!

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