Considere a função
dada por
Prove que, para todo
no dominio de
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que
O conteúdo principal é a diferenciação termo a termo de uma série de potências, o que requer verificar convergência uniforme em intervalos compactos.
Passo 2
Verificamos que a série tem raio de convergência infinito pelo teste da razão: para
,
Logo, converge para todo
x . Ademais, em qualquer intervalo
[-R,R] temos
e
sumn=0^infty R^n/n!=e^R<+infty , de modo que por o Teste de Weierstrass a série converge uniformemente em
[-R,R] .
Passo 3
Pela convergência uniforme em cada compactado interior, pode-se diferenciar termo a termo. Ou seja,
Passo 4
Calculamos a derivada de cada termo. Para
n>=1 ,
e para
n=0 temos derivada zero. Assim
Passo 5
Basta fazer a troca de índice
k=n-1 . Então, quando
n varia de
1 até
infty ,
k varia de
0 até
infty , e