Seja R a região no primeiro quadrante do plano- x y, limitada pelos eixos de coordenadas e a curva y=1-x^2. Seja C a borda de R, no sentido antihorário.
Calcule ointC F cdot d r, onde
F=(sin (x^2)-x y, x^2+cos (y^2))

Passo 1

O enunciado pede ointC Fcdot d r, onde C é a borda, orientada anti-horário, da região
R=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;y<=1-x^2
Como C é uma curva fechada simples em sentido positivo, vamos aplicar o Teorema de Green:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
com P(x,y)=sin(x^2)-x y e Q(x,y)=x^2+cos(y^2).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial xl(x^2+cos(y^2)r) =2x,
partial Ppartial y =partialpartial yl(sin(x^2)-xyr) =-x

Passo 3

O integrando de Green fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y =2x - (-x) =3x
O domínio R em coordenadas cartesianas é dado por
0<= x<=1, 0<= y<=1-x^2
Logo
integral duplaR3x,dA =integralx=0^1!integraly=0^1-x^23x,dy,dx

Passo 4

Primeiro integramos em y:
integral0^1-x^23x,dy =3xl[yr]0^1-x^2 =3x(1-x^2)
Em seguida, em x:
integral0^13x(1-x^2),dx =3l(integral0^1 x,dx - integral0^1 x^3,dxr) =3l(tfrac12 - tfrac14r) =tfrac34

Resposta

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