Seja R o quadrado R=(x, y) / 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1. Seja f(x, y) uma função de classe C^1, ou seja, possui suas primeiras derivadas parciais contínuas. Use o Teorema de Green para provar que
integral duplaD partial fpartial y(x, y) d x d y=integral0^1 f(x, 1) d x-integral0^1 f(x, 0) d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no quadrado
R = (x,y)mid 0 <= x<=1,;0<= y<=1,
valeu a identidade
integral duplaRpartial fpartial y(x,y),dx,dy = integral0^1f(x,1),dx - integral0^1f(x,0),dx,
usando o Teorema de Green. O conteúdo principal é a aplicação de Green em uma função f de classe C^1, de modo a transformar uma integral dupla numa integral de contorno.

Passo 2

Escolhemos um campo vetorial (P,Q) tal que
partial Qpartial x-partial Ppartial y = partial fpartial y
Basta tomar
P(x,y) = -,f(x,y), Q(x,y) = 0
Então
partial Qpartial x-partial Ppartial y = 0 - l(-partial fpartial yr) = partial fpartial y

Passo 3

Pelo Teorema de Green, para o contorno partial R orientado no sentido anti-horário,
integral duplaRgl(partial Qpartial x-partial Ppartial ygr),dx,dy = ointpartial RP,dx + Q,dy
Substituindo nosso P e Q,
integral duplaRpartial fpartial y,dx,dy = ointpartial R(-f),dx

Passo 4

O contorno partial R é formado por quatro lados:
  • Lado inferior: de (0,0) a (1,0), com y=0 e dxneq0.
  • Lado direito: de (1,0) a (1,1), com x=1 e dx=0.
  • Lado superior: de (1,1) a (0,1), com y=1 e dxneq0.
  • Lado esquerdo: de (0,1) a (0,0), com x=0 e dx=0.
Nos lados verticais ( dx=0) a integral integral -f,dx anula. Sobram os horizontais:
Para o lado inferior,
xcolon0to1,;y=0 Longrightarrow integral0^1(-f(x,0)),dx = -integral0^1f(x,0),dx
Para o lado superior,
xcolon1to0,;y=1 Longrightarrow integral1^0(-f(x,1)),dx = -integral1^0f(x,1),dx = integral0^1f(x,1),dx

Passo 5

Somando as contribuições dos dois lados,
ointpartial R(-f),dx = l(!- !integral0^1f(x,0),dxr) + l(!integral0^1f(x,1),dxr) = integral0^1f(x,1),dx - integral0^1f(x,0),dx
Portanto, volta-se exatamente a identidade desejada.

Resposta

integral duplaRpartial fpartial y(x,y),dx,dy = integral0^1f(x,1),dx - integral0^1f(x,0),dx

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