Seja
o quadrado
. Seja
uma função de classe
, ou seja, possui suas primeiras derivadas parciais contínuas. Use o Teorema de Green para provar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no quadrado
valeu a identidade
usando o Teorema de Green. O conteúdo principal é a aplicação de Green em uma função
de classe
, de modo a transformar uma integral dupla numa integral de contorno.
Passo 2
Escolhemos um campo vetorial
tal que
Basta tomar
Então
Passo 3
Pelo Teorema de Green, para o contorno
orientado no sentido anti-horário,
Substituindo nosso
e
,
Passo 4
O contorno
é formado por quatro lados:
- Lado inferior: de
a , com e . - Lado direito: de
a , com e . - Lado superior: de
a , com e . - Lado esquerdo: de
a , com e .
Nos lados verticais (
) a integral
anula. Sobram os horizontais:
Para o lado inferior,
Para o lado superior,
Passo 5
Somando as contribuições dos dois lados,
Portanto, volta-se exatamente a identidade desejada.