Integre a função
sobre o quadrante
e
. Faça um esboço da região de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
O conteúdo principal é cálculo de integrais duplas e troca para coordenadas polares.
Passo 2
A região
é o quarto de disco de raio
no primeiro quadrante, limitada por
,
e o círculo
. Um esboço típico é:
y
|
\(1\) * <- arco de círculo \(x^{2} + y^{2} =1\)
|
|
\(0\)----\(+\)---- x
\[1\]
Passo 3
Note que
Como em coordenadas polares
e
, o integrando fica mais simples.
Passo 4
Em coordenadas polares temos
Logo
Além disso os limites são
Passo 5
Calculemos a integral em polares:
Calculando cada parte:
Portanto a integral vale