Integre a função f(x, y)=x^3+x y^2 sobre o quadrante x >= 0, y >= 0 e x^2+y^2 <= 1. Faça um esboço da região de integração.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de
f(x,y)=x^3+x,y^2
sobre a região
D=l(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x^2+y^2<=1r
O conteúdo principal é cálculo de integrais duplas e troca para coordenadas polares.

Passo 2

A região é o quarto de disco de raio no primeiro quadrante, limitada por , e o círculo . Um esboço típico é:
     y
     |
 \(1\)   *   <- arco de círculo \(x^{2} + y^{2} =1\)
     |
     |
\(0\)----\(+\)---- x
\[1\]

Passo 3

Note que
x^3+x,y^2 = xl(x^2+y^2r)
Como em coordenadas polares x=rcostheta e x^2+y^2=r^2, o integrando fica mais simples.

Passo 4

Em coordenadas polares temos
x=rcostheta, y=rsintheta, dA = r,dr,dtheta
Logo
f(x,y),dA = l(rcosthetar),(r^2);l(r,dr,dthetar) = r^4costheta;dr,dtheta
Além disso os limites são
0<= r<=1, 0<=theta<=tfracpi2

Passo 5

Calculemos a integral em polares:
integral duplaDf(x,y),dA = integraltheta=0^pi/2integralr=0^1r^4costheta;dr,dtheta = l(integral0^1r^4drr)!l(integral0^pi/2costheta,dthetar)
Calculando cada parte:
integral0^1r^4dr = l[tfracr^55r]0^1 = tfrac15, integral0^pi/2costheta,dtheta = l[sinthetar]0^pi/2 = 1
Portanto a integral vale
15times1 = 15

Resposta

15

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