Calcule as integrais duplas a seguir e esboce a região de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
e esboçar a região de integração. O conteúdo principal aqui é a troca de ordem de integração em integrais duplas, seguida de uma integral simples que surge.
Passo 2
Vamos entender a região
no plano
em que estávamos integrando:
Para esboçar no plano com eixo horizontal
e vertical
:
a curva (equivalente a
) vai de
até
;
a reta horizontal e a reta vertical
são as outras fronteiras.
A região é o trecho “entre” essas três curvas.
a curva
a reta horizontal
A região
Passo 3
Vamos trocar a ordem de integração. Observando
, para cada
entre
e
temos
variando de
até
. Logo
Passo 4
Na integral invertida, integramos primeiro em
, prestando atenção que
é constante em
:
Assim a integral original vira
Passo 5
Para calcular
usamos integração por partes, tomando
e
. Então
e
, e
Passo 6
Avaliando de
a
,