Calcule as integrais duplas a seguir e esboce a região de integração.
integral0^1 / 4 integralraizt^1 / 2 e^uu d u d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^1/4integralraizt^1/2e^uu,du,dt
e esboçar a região de integração. O conteúdo principal aqui é a troca de ordem de integração em integrais duplas, seguida de uma integral simples que surge.

Passo 2

Vamos entender a região D no plano (t,u) em que estávamos integrando:
D = l(t,u)mid 0<= t<= tfrac14, raizt<= u<= tfrac12r
Para esboçar no plano com eixo horizontal t e vertical u:
a curva u=raizt (equivalente a t=u^2) vai de (0,0) até (tfrac14,tfrac12);
a reta horizontal u=tfrac12 e a reta vertical t=0 são as outras fronteiras.
A região D é o trecho “entre” essas três curvas.

Passo 3

Vamos trocar a ordem de integração. Observando D, para cada u entre 0 e tfrac12 temos t variando de 0 até u^2. Logo
integral0^1/4integralraizt^1/2e^uu,du,dt =integralu=0^1/2integralt=0^u^2e^uu,dt,du

Passo 4

Na integral invertida, integramos primeiro em t, prestando atenção que tfrace^uu é constante em t:
integralt=0^u^2e^uu,dt =e^uul[tr]0^u^2 =e^uu,u^2 = u,e^u
Assim a integral original vira
integral0^1/2u,e^u,du

Passo 5

Para calcular
integral u,e^u,du
usamos integração por partes, tomando a=u e db=e^udu. Então da=du e b=e^u, e
integral u,e^u,du = u,e^u - integral e^u,du = u,e^u - e^u + C = e^ul(u-1r)+C

Passo 6

Avaliando de 0 a tfrac12,
integral0^1/2u,e^u,du =l[e^u(u-1)r]0^1/2 =e^1/2l(tfrac12-1r)-e^0l(0-1r) =-tfrac12e^1/2+1

Resposta

1-12e^tfrac12

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