Determine o máximo e mínimo global nos intervalos fixados das seguintes funções. (Dica: veja o exemplo resolvido.)
f(x)=raiz[3]x^2-x^3 no intervalo [0,1];
Exemplo: Vamos encontrar os máximos e mínimos globais de f(x)=2 x^3+3 x^2-12 x no intervalo [-3,3]. Inicialmente devemos encontrar os pontos críticos:
c f^prime(x)=6 x^2+6 x-12 6 x^2+6 x-12=0 Longrightarrow Longrightarrow x^2+x-2=0 Longrightarrow Longrightarrow x1=1, x2=-2
Agora devemos determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para tanto basta estudar o sinal de f^prime. Como f^prime é uma função quadrática cujo gráfico tem concavidade para cima, então f^prime(x)>0 para -3 <= x<-2 ou 1<x <= 3 e f^prime(x)<0 para -2<x<1 e assim x1=-2 é um тáximo local e x2=1 é um mínimo local. Como f está definida num intervalo fechado, basta calcular os valores de máximo e mínimo locais e comparar com os valores de f nos extremos do intervalo fechado.
©Luís Márcio Salge
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Cálculo I
Lista T1: Aplicações de Derivadas e Regra de LHôspital
Note que f(-3)=9, f(-2)=20, f(1)=-7, f(3)=45, então -1 é ponto de mínimo global com -7 valor de mínimo global equanto que 3 é ponto de máximo global com 45 valor de máximo global.

Passo 1

Temos a função f(x)=raiz[3]x^2 - x^3 definida no intervalo fechado [0,1]. O conteúdo é identificação de extremos globais usando derivadas para achar pontos críticos e, em seguida, comparando os valores de f nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=(x^2 - x^3)^1/3, pela regra da cadeia:
f'(x) =13(x^2 - x^3)^-2/3cdot(2x - 3x^2) =2x - 3x^23,(x^2 - x^3)^2/3
Os pontos críticos no interior de [0,1] obedecem a f'(x)=0 ou a derivada indefinida. Igualando o numerador a zero,
2x - 3x^2 = 0 ;Longrightarrow; x(2 - 3x)=0 ;Longrightarrow; x=0ou x=23
Como x=0 é extremidade do intervalo, o único ponto crítico interior é x=tfrac23.

Passo 3

Agora avaliamos f nos pontos x=0, x=tfrac23 e x=1:
f(0)=raiz[3]0-0=0, f(1)=raiz[3]1-1=0,
fl(tfrac23r) =raiz[3]tfrac49-tfrac827 =raiz[3]tfrac427 =raiz[3]43

Passo 4

Comparando os valores obtidos, temos
f(0)=0, f(1)=0, fl(tfrac23r)=raiz[3]43>0
Portanto, o menor valor de f em [0,1] é 0 (ocorre em x=0 e x=1) e o maior valor é tfracraiz[3]43 (ocorre em x=tfrac23).

Resposta

Máximo global: fl(tfrac23r)=dfracraiz[3]43.
Mínimos globais: f(0)=0 e f(1)=0.

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