Determine o máximo e mínimo global nos intervalos fixados das seguintes funções. (Dica: veja o exemplo resolvido.)
no intervalo
;
Exemplo: Vamos encontrar os máximos e mínimos globais de
no intervalo [-3,3]. Inicialmente devemos encontrar os pontos críticos:
Agora devemos determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos locais. Para tanto basta estudar o sinal de
. Como
é uma função quadrática cujo gráfico tem concavidade para cima, então
para
ou
e
para
e assim
é um тáximo local e
é um mínimo local. Como
está definida num intervalo fechado, basta calcular os valores de máximo e mínimo locais e comparar com os valores de
nos extremos do intervalo fechado.
©Luís Márcio Salge
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Cálculo I
Lista T1: Aplicações de Derivadas e Regra de LHôspital
Note que
, então -1 é ponto de mínimo global com -7 valor de mínimo global equanto que 3 é ponto de máximo global com 45 valor de máximo global.
Exemplo: Vamos encontrar os máximos e mínimos globais de
©Luís Márcio Salge
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Cálculo I
Lista T1: Aplicações de Derivadas e Regra de LHôspital
Note que
Passo 1
Temos a função
definida no intervalo fechado
. O conteúdo é identificação de extremos globais usando derivadas para achar pontos críticos e, em seguida, comparando os valores de
nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Como
, pela regra da cadeia:
Os pontos críticos no interior de
obedecem a
ou a derivada indefinida. Igualando o numerador a zero,
Como
é extremidade do intervalo, o único ponto crítico interior é
.
Passo 3
Agora avaliamos
nos pontos
,
e
:
Passo 4
Comparando os valores obtidos, temos
Portanto, o menor valor de
em
é
(ocorre em
e
) e o maior valor é
(ocorre em
).
Resposta
Máximo global:
.
Mínimos globais: e
.
Mínimos globais: