Para um sistema LIT com resposta ao impulso dada por h(t)=6 e^-t u(t), determine a resposta do sistema para a entrada:
2 u(t)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT). O enunciado nos dá a resposta ao impulso do sistema, h(t)=6 e^-t u(t), e nos pede para encontrar a resposta do sistema quando a entrada é 2 u(t). Para resolver isso, vamos usar o conceito de convolução, que é fundamental para analisar sistemas LIT.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a convolução. Para sistemas LIT, a resposta do sistema a uma entrada x(t) é a convolução dessa entrada com a resposta ao impulso h(t). Matematicamente, isso é representado por:
y(t) = h(t) * x(t) = integral-infty^infty h(tau) x(t - tau) dtau

Passo 3

No nosso caso, a entrada é x(t) = 2 u(t). Substituindo na equação da convolução, temos:
y(t) = integral-infty^infty 6 e^-tau u(tau) cdot 2 u(t - tau) dtau

Passo 4

Como as funções u(tau) e u(t - tau) são funções degrau que valem zero para valores negativos, os limites da integral podem ser ajustados de 0 a t. Assim, a expressão simplifica para:
y(t) = integral0^t 6 e^-tau cdot 2 cdot 1 cdot dtau = 12 integral0^t e^-tau dtau

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral0^t e^-tau dtau = -e^-tau gr|0^t = -e^-t + e^0 = 1 - e^-t
Portanto,
y(t) = 12 (1 - e^-t)

Resposta

A resposta do sistema para a entrada 2 u(t) é:
y(t) = 12 (1 - e^-t) u(t)

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