Sejam F(x, y)=(x+3 y, x+y) e G(x, y)=(x+y, 2 x-3 y) campos vetoriais. Determine o valor de A tal que
ointC F cdot d r=A ointC G cdot d r
para qualquer círculo, C, no plano-xy.

Passo 1

O enunciado nos dá os campos vetoriais
F(x,y) = (,x+3y,;x+y,)
e
G(x,y) = (,x+y,;2x-3y,)
e pede um escalar A tal que para qualquer círculo C no plano-xy valha
ointCFcdot dr ;=; A ,ointCGcdot dr
Para isso vamos usar o Teorema de Green, que converte integrais de linha em integrais duplas do rotacional (curl) do campo.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, para um campo H=(H1,H2) qualquer e C orientado positivamente, temos
ointCHcdot dr =integral duplaDl(tfracpartial H2partial x-tfracpartial H1partial yr),dA,
onde D é a região limitada por C.

Passo 3

Aplicando a fórmula a com e , computamos
Logo o rotacional de é
Então

Passo 4

Agora para com e , temos
Portanto o rotacional de é
e

Passo 5

Comparando as duas integrais em função de , temos
Logo
para todo círculo . Assim o valor de é .

Resposta

A = -2.

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