Sejam
e
campos vetoriais. Determine o valor de
tal que
para qualquer círculo,
, no plano-xy.
Passo 1
O enunciado nos dá os campos vetoriais
e
e pede um escalar tal que para qualquer círculo
no plano-xy valha
e
e pede um escalar
Para isso vamos usar o Teorema de Green, que converte integrais de linha em integrais duplas do rotacional (curl) do campo.
Passo 2
Pelo Teorema de Green, para um campo
qualquer e
orientado positivamente, temos
onde
é a região limitada por
.
Passo 3
Aplicando a fórmula a
com
e
, computamos
Logo o rotacional de
é
Então
Passo 4
Agora para
com
e
, temos
Portanto o rotacional de
é
e
Passo 5
Comparando as duas integrais em função de , temos
Logo
para todo círculo
. Assim o valor de
é
.