Para um sistema LIT com resposta ao impulso dada por h(t)=6 e^-t u(t), determine a resposta do sistema para a entrada:
3 e^-3 u(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema LIT (Linear e Invariante no Tempo) com uma resposta ao impulso h(t) = 6 e^-t u(t). A gente precisa descobrir como esse sistema responde a uma entrada específica, que é 3 e^-3t u(t). Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de convolução, que é uma ferramenta essencial para encontrar a resposta de sistemas LIT quando conhecemos a entrada e a resposta ao impulso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a resposta do sistema para uma entrada qualquer pode ser encontrada pela convolução da entrada x(t) com a resposta ao impulso h(t). A convolução é definida por:
y(t) = x(t) * h(t) = integral-infty^infty x(tau) h(t - tau) dtau
No nosso caso, como tanto h(t) quanto x(t) são multiplicadas por u(t) (função de degrau de Heaviside), que é zero para t < 0, a integral só precisa ser calculada de 0 a t.

Passo 3

Vamos substituir x(t) e h(t) na fórmula da convolução:
y(t) = integral0^t 3 e^-3tau cdot 6 e^-(t - tau) dtau
Simplificando os coeficientes:
y(t) = 18 integral0^t e^-3tau e^-(t - tau) dtau

Passo 4

Agora, vamos combinar os expoentes:
e^-3tau e^-(t - tau) = e^-3tau - t + tau = e^-t -2tau
Então, a integral fica:
y(t) = 18 e^-t integral0^t e^-2tau dtau

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral0^t e^-2tau dtau = [ -12 e^-2tau ]0^t = -12 e^-2t + 12
Então, substituindo de volta:
y(t) = 18 e^-t ( 12 - 12 e^-2t ) = 9 e^-t (1 - e^-2t)

Resposta

A resposta do sistema para a entrada 3 e^-3t u(t) é:
y(t) = 9 e^-t (1 - e^-2t)

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