Calcule as integrais duplas usando coordenadas polares.
; Ré o círculo .

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla integralR (x^2 + 2y) , dx , dy, onde R é o círculo definido por x^2 + y^2 <= 4. Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares. Isso porque a região de integração R é um círculo, e coordenadas polares facilitam bastante os cálculos nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta):
x = r cos theta y = r sin theta
Além disso, o diferencial de área dx , dy em coordenadas polares se transforma em r , dr , dtheta.

Passo 3

Vamos expressar os limites de integração em coordenadas polares. A região R é um círculo de raio 2 (pois x^2 + y^2 <= 4 implica r <= 2), e theta varia de 0 a 2pi. Então:
0 <= r <= 2 0 <= theta <= 2pi

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares:
integral0^2pi integral0^2 ( (r cos theta)^2 + 2 (r sin theta) ) cdot r , dr , dtheta
Simplificando os termos dentro da integral:
integral0^2pi integral0^2 ( r^2 cos^2 theta + 2 r sin theta ) cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 ( r^3 cos^2 theta + 2 r^2 sin theta ) , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral em relação a r primeiro:
integral0^2 r^3 cos^2 theta , dr = cos^2 theta integral0^2 r^3 , dr = cos^2 theta [ r^44 ]0^2 = cos^2 theta ( 164 ) = 4 cos^2 theta
integral0^2 2 r^2 sin theta , dr = 2 sin theta integral0^2 r^2 , dr = 2 sin theta [ r^33 ]0^2 = 2 sin theta ( 83 ) = 163 sin theta
Portanto, a integral fica:
integral0^2pi ( 4 cos^2 theta + 163 sin theta ) , dtheta

Passo 6

Vamos agora integrar em relação a theta:
integral0^2pi 4 cos^2 theta , dtheta + integral0^2pi 163 sin theta , dtheta
Para a primeira integral, usamos a identidade cos^2 theta = 1 + cos 2theta2:
4 integral0^2pi 1 + cos 2theta2 , dtheta = 2 integral0^2pi (1 + cos 2theta) , dtheta = 2 [ theta + sin 2theta2 ]0^2pi = 2 (2pi - 0) = 4pi
Para a segunda integral:
163 integral0^2pi sin theta , dtheta = 163 [ -cos theta ]0^2pi = 163 ( -cos 2pi + cos 0 ) = 163 ( -1 + 1 ) = 0

Resposta

A integral dupla é igual a 4pi.

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