Calcule as integrais duplas usando coordenadas polares.
; Ré o círculo .
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla
, onde
é o círculo definido por
. Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares. Isso porque a região de integração
é um círculo, e coordenadas polares facilitam bastante os cálculos nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
:
Além disso, o diferencial de área
em coordenadas polares se transforma em
.
Passo 3
Vamos expressar os limites de integração em coordenadas polares. A região
é um círculo de raio 2 (pois
implica
), e
varia de
a
. Então:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Vamos agora integrar em relação a
:
Para a primeira integral, usamos a identidade
:
Para a segunda integral:
Resposta
A integral dupla é igual a
.