Calcule as integrais duplas usando coordenadas polares.
é limitada pelo círculo
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região
, que é o círculo definido por
. A função que vamos integrar é
. Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, já que a região é um círculo e isso simplifica as contas.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas, a expressão
representa o quadrado da distância do ponto até a origem, que em coordenadas polares é
. Então, nossa função
vira:
Passo 3
O próximo passo é transformar o elemento de área
em coordenadas polares. Sabemos que:
Isso significa que, na integral dupla, vamos multiplicar nossa função pela expressão
.
Passo 4
Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares. Os limites de
vão de 0 até 1 (já que o raio do círculo é 1) e os limites de
vão de 0 até
para cobrir todo o círculo. A integral fica assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
O valor da integral é
.