Calcule as integrais duplas usando coordenadas polares.
integralR integral(x^2+y^2)^32 d A ; R é limitada pelo círculo x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região R , que é o círculo definido por x^2 + y^2 = 1 . A função que vamos integrar é (x^2 + y^2)^32 . Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, já que a região é um círculo e isso simplifica as contas.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas, a expressão x^2 + y^2 representa o quadrado da distância do ponto até a origem, que em coordenadas polares é r^2 . Então, nossa função (x^2 + y^2)^32 vira:
(r^2)^32 = r^3

Passo 3

O próximo passo é transformar o elemento de área dA em coordenadas polares. Sabemos que:
dA = r , dr , dtheta
Isso significa que, na integral dupla, vamos multiplicar nossa função pela expressão r , dr , dtheta .

Passo 4

Agora, montamos a integral dupla em coordenadas polares. Os limites de r vão de 0 até 1 (já que o raio do círculo é 1) e os limites de theta vão de 0 até 2pi para cobrir todo o círculo. A integral fica assim:
integral0^2pi integral0^1 r^3 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 r^4 , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r :
integral0^1 r^4 , dr = [ r^55 ]0^1 = 1^55 - 0^55 = 15

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi 15 , dtheta = 15 cdot [ theta ]0^2pi = 15 cdot (2pi - 0) = 2pi5

Resposta

O valor da integral é 2pi5 .

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