Considere a equação
4 x y+3 y^3+(2 x^2+4 x y^2) d yd x=0
(a) Ache números inteiros positivos m e n tais que I(x, y)=x^m y^n seja um fator de integração dessa equação.
(b) Ache uma fórmula algébrica implícita para as soluções da equação.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
4xy+3y^3+l(2x^2+4xy^2r)dydx=0
e pede um fator de integração da forma I(x,y)=x^my^n. Vamos usar a ideia de que, para
M(x,y)+N(x,y),dydx=0,
um fator mu(x,y) torna a equação exata se
partialpartial yl(mu,Mr) =partialpartial xl(mu,Nr)

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=4xy+3y^3, N(x,y)=2x^2+4xy^2,
e assumimos mu(x,y)=x^my^n. Então
mu M=4x^m+1y^n+1+3x^my^n+3, mu N=2x^m+2y^n+4x^m+1y^n+2
Calculamos as derivadas parciais:
partialpartial y(mu M) =4(n+1)x^m+1y^n +3(n+3)x^my^n+2,
partialpartial x(mu N) =2(m+2)x^m+1y^n +4(m+1)x^my^n+2
Igualando os coeficientes de x^m+1y^n e de x^my^n+2, vem o sistema
4(n+1)=2(m+2), 3(n+3)=4(m+1)
Da primeira equação obtemos m=2n. Substituindo na segunda:
3n+9=4(2n+1);Longrightarrow;3n+9=8n+4;Longrightarrow;5n=5;Longrightarrow;n=1,;m=2

Passo 3

Com mu=x^2y, a equação fica exata. Agora achamos uma função potencial Phi(x,y) tal que
Phix=mu M=4x^3y^2+3x^2y^4, Phiy=mu N=2x^4y+4x^3y^3
Integramos Phix em relação a x:
Phi(x,y) =integral!(4x^3y^2+3x^2y^4),dx =x^4y^2+x^3y^4+h(y)
Derivando em y e igualando a Phiy mostra que h'(y)=0, logo h é constante.

Passo 4

A solução geral implícita vem de
Phi(x,y)=x^4y^2+x^3y^4=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

(a) m=2 e n=1.
(b) x^4y^2+x^3y^4=C.

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