Considere a equação
(a) Ache números inteiros positivos
e
tais que
seja um fator de integração dessa equação.
(b) Ache uma fórmula algébrica implícita para as soluções da equação.
(b) Ache uma fórmula algébrica implícita para as soluções da equação.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede um fator de integração da forma
. Vamos usar a ideia de que, para
um fator
torna a equação exata se
Passo 2
Identificamos
e assumimos
. Então
Calculamos as derivadas parciais:
Igualando os coeficientes de
e de
, vem o sistema
Da primeira equação obtemos
. Substituindo na segunda:
Passo 3
Com
, a equação fica exata. Agora achamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Derivando em
e igualando a
mostra que
, logo
é constante.
Passo 4
A solução geral implícita vem de
com
constante arbitrária.
Resposta
(a)
e
.
(b) .
(b)