Mostre que as funções a seguir satisfazem o Teorema de Clairaut, ux y=uy x.
u=cos (x^2 y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
u(x,y)=cosl(x^2yr)
satisfaz o Teorema de Clairaut, ou seja, que as derivadas mistas uxy e uyx são iguais. Para isso, vamos calcular explicitamente ux, uxy, uy e uyx.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de u em relação a x. Usando a cadeia em cos(t) com t = x^2y, temos
ux = -sin(x^2y),partialpartial x(x^2y) = -sin(x^2y),(2x,y) = -2x y,sin(x^2y)

Passo 3

Calcular a derivada mista uxy, ou seja, a derivada de ux em relação a y. Como
ux = -2x y,sin(x^2y),
aplicamos produto e cadeia:
uxy = -2xsin(x^2y) -2x ycos(x^2y),partialpartial y(x^2y) = -2xsin(x^2y) -2x ycos(x^2y),(x^2)
uxy = -2xsin(x^2y) - 2x^3 ycos(x^2y)

Passo 4

Calcular a derivada parcial de u em relação a y. Pela cadeia em cos(t) com t = x^2y,
uy = -sin(x^2y),partialpartial y(x^2y) = -sin(x^2y),(x^2) = -x^2sin(x^2y)

Passo 5

Calcular a derivada mista uyx, ou seja, a derivada de uy em relação a x. Como
uy = -x^2sin(x^2y),
aplicamos produto e cadeia:
uyx = -2xsin(x^2y) -x^2cos(x^2y),partialpartial x(x^2y) = -2xsin(x^2y) -x^2cos(x^2y),(2x,y)
uyx = -2xsin(x^2y) - 2x^3 ycos(x^2y)

Passo 6

Comparando os resultados obtidos em

Passo 7

uxy = -2xsin(x^2y) - 2x^3 ycos(x^2y) e uyx = -2xsin(x^2y) - 2x^3 ycos(x^2y),
logo uxy=uyx.

Resposta

A função u(x,y)=cos(x^2y) satisfaz o Teorema de Clairaut, pois uxy=uyx.

Exercícios relacionados