Mostre que as funções a seguir satisfazem o Teorema de Clairaut,
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
satisfaz o Teorema de Clairaut, ou seja, que as derivadas mistas
e
são iguais. Para isso, vamos calcular explicitamente
,
,
e
.
Passo 2
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a cadeia em
com
, temos
Passo 3
Calcular a derivada mista
, ou seja, a derivada de
em relação a
. Como
aplicamos produto e cadeia:
Passo 4
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Pela cadeia em
com
,
Passo 5
Calcular a derivada mista
, ou seja, a derivada de
em relação a
. Como
aplicamos produto e cadeia:
Passo 6
Comparando os resultados obtidos em
Passo 7
logo
.
Resposta
A função
satisfaz o Teorema de Clairaut, pois
.