(Equação da Onda numa Corda Unidimensional Infinita) Encontre a solução da equação da onda
sujeita às condições iniciais:
e
partial upartial t(x, 0)=0
Passo 1
O problema é a equação da onda unidimensional numa corda infinita
com condições iniciais de deslocamento
e velocidade inicial
Para resolver, vamos usar a fórmula de d’Alembert, que é o método padrão para a onda numa corda infinita.
Passo 2
A solução geral de d’Alembert para
é
Passo 3
Aqui temos
, então a integral some e sobra\r
Passo 4
Como
então
,f(xpm at)=2 se
|xpm at|<1 e vale zero caso contrário. Logo em cada ponto
(x,t) temos três situações:
- Se ambos |x-at|<1 e |x+at|<1, então
,u=tfrac12(2+2)=2 .
- Se exatamente um deles estiver dentro de (-1,1), então
,u=tfrac12(2+0)=1 .
- Se nenhum estiver dentro de (-1,1), então
,u=0 .
Passo 5
Reescrevendo tudo de forma organizada, a solução é\r