(Equação da Onda numa Corda Unidimensional Infinita) Encontre a solução da equação da onda
partial^2 upartial t^2=a^2 partial^2 upartial x^2
sujeita às condições iniciais:
l -infty<x<infty, u(x, 0)=f(x)=lll 2 ; & |x|<1 0 & ; & |x|>1
e
partial upartial t(x, 0)=0

Passo 1

O problema é a equação da onda unidimensional numa corda infinita
partial^2upartial t^2 = a^2,partial^2upartial x^2, -infty<x<infty,
com condições iniciais de deslocamento
u(x,0)=f(x)= 2,&|x|<1, 0,&|x|>1,
e velocidade inicial
partial upartial t(x,0)=0
Para resolver, vamos usar a fórmula de d’Alembert, que é o método padrão para a onda numa corda infinita.

Passo 2

A solução geral de d’Alembert para
utt=a^2uxx, u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x)
é
u(x,t)=12l[f(x-at)+f(x+at)r]+12aintegral,x-at^,x+atg(s),ds

Passo 3

Aqui temos , então a integral some e sobra\r

Passo 4

Como
f(xi)= 2,&|xi|<1, 0,&|xi|>1,
então
,f(xpm at)=2 se |xpm at|<1 e vale zero caso contrário. Logo em cada ponto (x,t) temos três situações:
- Se ambos |x-at|<1 e |x+at|<1, então
,u=tfrac12(2+2)=2.
- Se exatamente um deles estiver dentro de (-1,1), então
,u=tfrac12(2+0)=1.
- Se nenhum estiver dentro de (-1,1), então
,u=0.

Passo 5

Reescrevendo tudo de forma organizada, a solução é\r
u(x,t)= 2,&|x-at|<1 e |x+at|<1, 1,&l(|x-at|<1r) xor l(|x+at|<1r), 0,&|x-at|>=1 e |x+at|>=1

Resposta

u(x,t)= 2,&|x-at|<1 e |x+at|<1, 1,&l(|x-at|<1r) xor l(|x+at|<1r), 0,&|x-at|>=1 e |x+at|>=1

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