Resolva a EDO
d yd x=y(x y^3-1)

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO
dydx = yl(xy^3 - 1r)
Isso é uma equação de Bernoulli na incógnita ,y(x), pois pode ser escrita como
dydx + y = x,y^4
Para resolver, usaremos a substituição típica de Bernoulli.

Passo 2

Na forma padrão de Bernoulli dydx + P(x)y = Q(x)y^n, identificamos P(x)=1, Q(x)=x e n=4. Definimos a nova função
w = y^1-n = y^-3
Calculamos sua derivada usando w = y^-3:
dwdx = -3,y^-4,dydx

Passo 3

Substituímos dydx = x,y^4 - y na expressão de dwdx:
dwdx = -3,y^-4l(x,y^4 - yr) = -3l(x - y^-3r) = -3x + 3w
Reorganizando, obtemos uma equação linear em w:
dwdx - 3w = -3x

Passo 4

Para resolver a equação linear
dwdx - 3w = -3x
usamos o fator integrante
mu(x) = e^integral -3,dx = e^-3x
Multiplicando tudo por mu(x) e integrando:
ddxl(w,e^-3xr) = -3x,e^-3x
Para integral -3x,e^-3x,dx fazemos integração por partes e achamos
w,e^-3x = x,e^-3x + 13,e^-3x + C

Passo 5

Multiplicando por e^3x e voltando à variável y (onde w=y^-3), obtemos
y^-3 = x + 13 + C,e^3x
Portanto, a solução geral é
y(x) = l(x + tfrac13 + C,e^3xr)^-!1/3

Resposta

y(x) = l(x + tfrac13 + C,e^3xr)^-!1/3,
onde C é constante arbitrária.

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