Calcule as integrais duplas usando a soma de Riemann:
integral duplaR(2 x+y^2) d A em que R=(x, y) mid 0 <= x <= 3,1 <= y <= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral dupla de 2x + y^2 sobre a região R, que é definida onde x varia de 0 a 3 e y varia de 1 a 2. Isso envolve o conceito de integrais duplas usando a soma de Riemann, que basicamente quebra a região em pequenos retângulos, calcula a área de cada um multiplicada pelo valor da função naquele ponto, e soma tudo. Para resolver, vamos dividir em etapas bem claras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que calcular uma integral dupla sobre uma região retangular como essa pode ser feito utilizando integrais iteradas. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez. Aqui, vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 3

Vamos começar integrando a função 2x + y^2 em relação a y, mantendo x constante. A integral de 2x em relação a y é 2x cdot y, e a integral de y^2 em relação a y é 13y^3. Então, a integral fica:
integral1^2 (2x + y^2) , dy = 2x cdot y |1^2 + 13 y^3 |1^2

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites de integração. Substituindo y = 2 e y = 1:
2x cdot 2 - 2x cdot 1 = 4x - 2x = 2x
13(2)^3 - 13(1)^3 = 83 - 13 = 73
Então, a integral em relação a y ficou:
2x + 73

Passo 5

Agora, vamos integrar esse resultado em relação a x de 0 a 3. A integral de 2x em relação a x é x^2, e a integral de 73 em relação a x é 73x. Assim, temos:
integral0^3 (2x + 73) , dx = x^2 |0^3 + 73x |0^3

Passo 6

Calculando os limites de integração:
x^2 |0^3 = 9 - 0 = 9
73x |0^3 = 73 cdot 3 - 73 cdot 0 = 7 - 0 = 7
Somando os dois resultados:
9 + 7 = 16

Resposta

A integral dupla vale 16.

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