Determine o volume do sólido dado.
Abaixo do plano x-2 y+z=1 e acima da região limitada por x+y-1 e x^2+y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo do plano
x - 2y + z = 1
e acima da região R no plano xy limitada pelas curvas
x + y - 1 = 0 e x^2 + y = 1
O conteúdo é cálculo de volume por dupla integral, usando a projeção R e a expressão de z em função de x,y.

Passo 2

Isolamos z no plano:
z = 1 - x + 2y
Logo, o volume é
V = integral duplaR l(1 - x + 2yr),dA

Passo 3

A região R é delimitada pelas curvas
y = 1 - x (reta) e y = 1 - x^2 (parábola) á
Elas se intersectam quando
1 - x = 1 - x^2 ;Longrightarrow; x^2 - x = 0 ;Longrightarrow; x=0,1
Para 0<= x<=1, temos 1-x<= 1-x^2. Então
R = (x,y)mid 0<= x<=1,;1-x<= y<= 1-x^2

Passo 4

Montamos a integral iterada:
V = integralx=0^1!integraly=,1-x^,1-x^2l(1 - x + 2yr),dy,dx

Passo 5

Calculamos a integral interna em y:
integral1-x^1-x^2l(1 - x + 2yr),dy = l(1-xr)y + y^2 |y=1-x^,y=1-x^2
Substituindo os limites e simplificando, obtém-se
3x - 5x^2 + x^3 + x^4

Passo 6

Agora integramos em x:
V = integral0^1l(3x - 5x^2 + x^3 + x^4r),dx = [3x^22 - 5x^33 + x^44 + x^55]0^1 = 1760

Resposta

O volume do sólido é 1760.

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