Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^1 v(u-v^2) d u d v.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integral0^1vl(u - v^2r),du,dv
O conteúdo é cálculo de integrais iteradas usando a propriedade de linearidade e Fubini (podemos trocar a ordem ou integrar sucessivamente). Vamos primeiro integrar em u (a variável interna) e depois em v.

Passo 2

Calculemos a integral interna
integral0^1vl(u - v^2r),du
Como v é constante em relação a u, podemos fatorá-lo:
vintegral0^1(u - v^2),du
Agora separamos em duas integrais:
integral0^1u,du = tfrac12, integral0^1v^2,du = v^2cdot 1 = v^2
Logo,
integral0^1(u - v^2),du = tfrac12 - v^2
Multiplicando por v, obtemos
integral0^1vl(u - v^2r),du = vl(tfrac12 - v^2r) = tfrac12,v - v^3

Passo 3

Agora integramos o resultado em v:
integral0^1l(tfrac12,v - v^3r),dv
Separamos novamente:
integral0^1tfrac12,v,dv = tfrac12cdot tfracv^22|0^1 = tfrac14,
integral0^1v^3,dv = tfracv^44|0^1 = tfrac14
Logo,
integral0^1l(tfrac12,v - v^3r),dv = tfrac14 - tfrac14 = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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