lim (x, y) (1,1) x y^2-1y-1

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(1,1) x,y^2-1y-1
Esse é um limite de função de duas variáveis. Para existir, o valor da expressão deve ser o mesmo em toda forma de nos aproximarmos de (1,1). Vamos usar fatoração para simplificar e depois testar diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Fatoramos o numerador x,y^2-1 em dois termos que contenham (y-1):
x,y^2-1 = x(y^2-1) + (x-1) = x,(y-1)(y+1) + (x-1)
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x,y^2-1y-1 = x,(y-1)(y+1)y-1 ;+;x-1y-1 = x,(y+1);+;x-1y-1

Passo 3

Aproximando por x=1:
x,y^2-1y-1 = 1cdot(y+1) + 1-1y-1 = y+1 + 0
Quando yto1, isso tende a
1+1 = 2

Passo 4

Aproximando pela reta x=y:
x,y^2-1y-1 = x,(y+1) + x-1y-1 = y,(y+1) + y-1y-1 = y^2+y + 1
Quando yto1, isso tende a
1^2+1 +1 = 3

Passo 5

Como pelas duas aproximações obtivemos valores diferentes ( 2 ao aproximar por x=1 e 3 ao aproximar por x=y), o limite não é único.

Resposta

O limite não existe.

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