Calcule as integrais nos exercícios 7-10.
8. \int_{-1}^{1} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1+\cos \theta} 4 r d r d \theta d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integralz=-1^1integraltheta=0^2piintegralr=0^1+costheta4,r;dr,dtheta,dz
O que vamos usar é a definição de integral iterada: primeiro integraremos em r, depois em theta e por fim em z. Também precisaremos da identidade
cos^2theta = tfrac1+cos2theta2
para tratar o termo em cos^2theta.

Passo 2

Calculemos a integral interna em r:
integral0^1+costheta4,r,dr =4[r^22]0^1+costheta =2,(1+costheta)^2

Passo 3

Agora integramos em theta:
integral0^2pi2,(1+costheta)^2,dtheta =2integral0^2pil(1+2costheta+cos^2thetar),dtheta
Usando
integral0^2pi1,dtheta=2pi,
integral0^2picostheta,dtheta=0
e
integral0^2picos^2theta,dtheta =integral0^2pi1+cos2theta2,dtheta =pi,
obtemos
2l(2pi+0+pir) =2cdot3pi =6pi

Passo 4

Finalmente, integramos em z, onde o integrando virou constante 6pi:
integral-1^16pi,dz =6pi,(1-(-1)) =6picdot2 =12pi

Resposta

12pi

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