Calcule as integrais nos exercícios 7-10.
9. \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{z}} \int_{0}^{2 \pi}\left(r^{2} \cos ^{2} \theta+z^{2}\right) r d \theta d r d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integralz=0^1integralr=0^raizzintegraltheta=0^2pil(r^2cos^2theta+z^2r),r,dtheta,dr,dz
Aqui vamos usar integração iterada: primeiro em theta, depois em r e por fim em z.

Passo 2

Integramos em theta. Note que
integral0^2picos^2theta,dtheta=pi, integral0^2pi1,dtheta=2pi
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integral0^2pil(r^2cos^2theta+z^2r),dtheta = r^2,pi + z^2,(2pi) = pi r^2+2pi z^2
Multiplicando por r (que estava fora do dtheta), o integrando vira
pi r^3+2pi z^2r

Passo 3

Agora integramos em r de 0 a raizz:
integral0^raizzl(pi r^3+2pi z^2rr),dr =piintegral0^raizzr^3dr +2pi z^2integral0^raizzr,dr
Calculando cada uma:
integral0^raizzr^3dr=(raizz)^44=z^24, integral0^raizzr,dr=(raizz)^22=z2
Portanto o resultado parcial é
piz^24+2pi z^2cdotz2 =pi z^24+pi z^3 =pil(z^24+z^3r)

Passo 4

Por fim integramos em z de 0 a 1:
integral0^1pil(z^24+z^3r)dz =pil[14cdotz^33+z^44r]0^1 =pil(112+14r) =picdot13 =pi3

Resposta

pi3

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