Nos exercícios 7. e 8. inverta a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
Informações dadas:
e, para cada
nessa faixa,
varia de
até
.
A tarefa é reescrever a integral na forma
A tarefa é reescrever a integral na forma
ou, se necessário, como soma de integrais em
sobre intervalos distintos.
Passo 2
Vamos entender geometricamente a região
descrita pelos limites. A região é
As curvas que formam as fronteiras são:
e
Calculemos os pontos de interseção dessas fronteiras com as horizontais
e
(esses dois horizontais são os extremos em
):
- Para
: varia de até . Então, no nível a região vai de a . - Para
: varia de até . Então, no nível a região vai de a .
Esses pontos mostram que, globalmente,
vai de
até
.
Passo 3
Agora vamos inverter a ordem: fixamos
e determinamos para quais
ele pertence a
. As duas desigualdades que definem
são
além de
. Tratemos cada uma isoladamente para reescrever em forma
em função de
.
Da desigualdade
obtemos (para
real)
Como na região temos
, isso reduz para
Da desigualdade
obtemos
Combinando tudo (e lembrando
) obtemos que, para um dado
,
Passo 4
Precisamos agora descobrir para que valores de
esse intervalo de
é não vazio, isto é, quando
Identificamos os pontos críticos onde as funções trocam de ramo:
Também o menor valor possível de
visto antes foi
. Portanto os candidatos para quebrar em intervalos são
. Vamos analisar intervalo a intervalo.
Passo 5
Análise por intervalos de
:
- Para
:
- Temos
, então . - Também
implica , logo .
Portanto paraos válidos são
Isto é consistente: quando
é pequeno, a condição
é a restrição dominante.
- Para
:
- Temos
, então . - Também
implica , então .
Portanto paraos válidos são
Neste intervalo de
, tanto
quanto
são satisfeitas para todo
entre
e
.
- Para
:
- Temos
, então . - Também
implica .
Portanto paraos válidos são
Note que em
o intervalo colapsa para
, o que coincide com o ponto extremo listado antes.
Passo 6
Juntando os três casos, a integral com ordem invertida fica como soma de três integrais (cada uma com os limites de
apropriados), integradas em
nos intervalos encontrados: