Nos exercícios 7. e 8. inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{y^{2}}^{y+2} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
\int_{0}^{1} \int_{y^{2}}^{y+2} f(x,y)\,dx\,dy.
Informações dadas:
\;0\le y\le 1 e, para cada y nessa faixa, x varia de x=y^{2} até x=y+2.
A tarefa é reescrever a integral na forma
\int_{x=\text{?}}^{\text{?}} \int_{y=\text{?}}^{\text{?}} f(x,y)\,dy\,dx,
ou, se necessário, como soma de integrais em x sobre intervalos distintos.

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região D descrita pelos limites. A região é
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; y^{2}\le x\le y+2\}.
As curvas que formam as fronteiras são:
x=y^{2}\quad(\text{parábola que abre para a direita})á
e
x=y+2\quad(\text{reta com inclinação }1).çã
Calculemos os pontos de interseção dessas fronteiras com as horizontais y=0 e y=1 (esses dois horizontais são os extremos em y):
  • Para y=0: x varia de x=0^{2}=0 até x=0+2=2. Então, no nível y=0 a região vai de x=0 a x=2.
  • Para y=1: x varia de x=1^{2}=1 até x=1+2=3. Então, no nível y=1 a região vai de x=1 a x=3.
Esses pontos mostram que, globalmente, x vai de 0 até 3.

Passo 3

Agora vamos inverter a ordem: fixamos x e determinamos para quais y ele pertence a D. As duas desigualdades que definem D são
y^{2}\le x \quad\text{e}\quad x\le y+2,
além de 0\le y\le 1. Tratemos cada uma isoladamente para reescrever em forma y em função de x.
Da desigualdade y^{2}\le x obtemos (para y real)
-\sqrt{x}\le y\le \sqrt{x}.
Como na região temos y\ge 0, isso reduz para
0\le y\le \sqrt{x}.
Da desigualdade x\le y+2 obtemos
y\ge x-2.
Combinando tudo (e lembrando 0\le y\le 1) obtemos que, para um dado x,
y \in \big[\,\max(0,\,x-2)\,,\,\min(1,\,\sqrt{x})\,\big].

Passo 4

Precisamos agora descobrir para que valores de x esse intervalo de y é não vazio, isto é, quando
\max(0,\,x-2)\le \min(1,\,\sqrt{x}).
Identificamos os pontos críticos onde as funções trocam de ramo:
\sqrt{x}=1 \iff x=1,\qquad x-2=0\iff x=2,\qquad x-2=1\iff x=3.
Também o menor valor possível de x visto antes foi 0. Portanto os candidatos para quebrar em intervalos são x=0,1,2,3. Vamos analisar intervalo a intervalo.

Passo 5

Análise por intervalos de x:
  1. Para 0\le x\le 1:
  • Temos x-2\le -1, então \max(0,x-2)=0.
  • Também 0\le x\le 1 implica \sqrt{x}\le 1, logo \min(1,\sqrt{x})=\sqrt{x}.
    Portanto para 0\le x\le 1 os y válidos são
0\le y\le \sqrt{x}.
Isto é consistente: quando x é pequeno, a condição y^{2}\le x é a restrição dominante.
  1. Para 1\le x\le 2:
  • Temos x-2\le 0, então \max(0,x-2)=0.
  • Também x\ge 1 implica \sqrt{x}\ge 1, então \min(1,\sqrt{x})=1.
    Portanto para 1\le x\le 2 os y válidos são
0\le y\le 1.
Neste intervalo de x, tanto y^{2}\le x quanto x\le y+2 são satisfeitas para todo y entre 0 e 1.
  1. Para 2\le x\le 3:
  • Temos x-2\ge 0, então \max(0,x-2)=x-2.
  • Também x\ge 2>1 implica \min(1,\sqrt{x})=1.
    Portanto para 2\le x\le 3 os y válidos são
x-2\le y\le 1.
Note que em x=3 o intervalo colapsa para y=1, o que coincide com o ponto extremo listado antes.

Passo 6

Juntando os três casos, a integral com ordem invertida fica como soma de três integrais (cada uma com os limites de y apropriados), integradas em x nos intervalos encontrados:
\int_{0}^{1}\int_{y^{2}}^{y+2} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,dy\right)dx +\int_{1}^{2}\left(\int_{0}^{1} f(x,y)\,dy\right)dx +\int_{2}^{3}\left(\int_{x-2}^{1} f(x,y)\,dy\right)dx.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{y^{2}}^{y+2} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{x}} f(x,y)\,dy\,dx +\int_{1}^{2}\int_{0}^{1} f(x,y)\,dy\,dx +\int_{2}^{3}\int_{x-2}^{1} f(x,y)\,dy\,dx

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