Calcule as integrais nos exercícios 21-26.
\int_{0}{1}\left[t{3} i+7 j+(t+1) k\right] d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do campo vetorial dado no intervalo de t=0 a t=1. As informações relevantes são:
\text{Integrando: } \; \mathbf{F}(t)=t^{3}\mathbf{i}+7\mathbf{j}+(t+1)\mathbf{k}
\text{Intervalo: } \; t\in[0,1]
As perguntas implícitas são: calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\left[t^{3}\mathbf{i}+7\mathbf{j}+(t+1)\mathbf{k}\right]dt
e dar o resultado como um vetor (componentes em \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}).

Passo 2

Ideia e regra que vamos usar (explicada de forma simples): a integração de um campo vetorial em uma variável é feita componente a componente. Isso vem da linearidade da integral. Em fórmulas:
\int_{a}^{b}\big(f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}\big)\,dt = \left(\int_{a}^{b}f(t)\,dt\right)\mathbf{i}+\left(\int_{a}^{b}g(t)\,dt\right)\mathbf{j}+\left(\int_{a}^{b}h(t)\,dt\right)\mathbf{k}.
Explicando: você integra cada função escalar separadamente e depois monta o vetor com essas integrais. Vamos aplicar isso aqui.

Passo 3

Integrando a componente em \mathbf{i}: temos a função f(t)=t^{3}.
Regra usada: a integral de t^{n} (com n\neq -1) é \int t^{n}dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}. Aqui n=3, então
\int t^{3}dt=\frac{t^{4}}{4}.
Agora avaliamos a integral definida de 0 a 1:
\int_{0}^{1}t^{3}dt=\left.\frac{t^{4}}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4}=\frac{1}{4}.

Passo 4

Integrando a componente em \mathbf{j}: temos a função constante g(t)=7.
Regra usada: a integral de uma constante c é \int c\,dt=c\,t. Então
\int_{0}^{1}7\,dt=\left.7t\right|_{0}^{1}=7\cdot 1-7\cdot 0=7.
(Intuitivamente, é a área de um retângulo de altura 7 e largura 1.)

Passo 5

Integrando a componente em \mathbf{k}: temos h(t)=t+1. Podemos separar a soma:
\int_{0}^{1}(t+1)\,dt=\int_{0}^{1}t\,dt+\int_{0}^{1}1\,dt.
Usando \int t\,dt=\dfrac{t^{2}}{2} e \int 1\,dt=t, obtemos
\int_{0}^{1}t\,dt=\left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}, \qquad \int_{0}^{1}1\,dt=\left.t\right|_{0}^{1}=1.
Somando:
\int_{0}^{1}(t+1)\,dt=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.

Passo 6

Agora juntamos as três componentes integradas para formar o vetor resultado, usando a regra do Passo 2:
\int_{0}^{1}\left[t^{3}\mathbf{i}+7\mathbf{j}+(t+1)\mathbf{k}\right]dt = \frac{1}{4}\mathbf{i}+7\mathbf{j}+\frac{3}{2}\mathbf{k}.
Se quiser, pense que cada componente é a “área” sob a curva daquela função no intervalo [0,1]; montando-as você tem o vetor integral.

Resposta

\dfrac{1}{4}\mathbf{i}+7\mathbf{j}+\dfrac{3}{2}\mathbf{k}

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