Calcule as integrais nos exercícios 9-26. Verifique suas respostas diferenciando.
\int \operatorname{cotg}^{2} x d x\left(\right. Dica: \left.1+\operatorname{cotg}^{2} x=\operatorname{cosec}^{2} x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int \cot^2 x \,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, e vamos usar a identidade
1 + \cot^2 x = \csc^2 x
para reescrever o integrando de forma mais simples.

Passo 2

Usando a identidade \,1+\cot^2 x=\csc^2 x, temos
\cot^2 x = \csc^2 x - 1.
Portanto
\int \cot^2 x \,dx = \int \bigl(\csc^2 x - 1\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
  • \displaystyle \int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C_1, pois \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x.
  • \displaystyle \int 1\,dx = x + C_2.

Passo 4

Somando os resultados e juntando as constantes em uma só C, obtemos
\int \cot^2 x \,dx = -\cot x - x + C.

Passo 5

Para verificar, diferenciamos a resposta:
\frac{d}{dx}\bigl(-\cot x - x\bigr) = \csc^2 x - 1 = \cot^2 x,
que é justamente o integrando original. Portanto a integração está correta.

Resposta

\boxed{\int \cot^2 x \,dx = -\cot x - x + C.}

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