Quánto terei, no final de 20 meses, se aplicar, alternadamente, \ 200,00 e$400,00 por mês, respectivamente, a uma taxa deê2.5 % ao mès, de acordo com o conceito de termos vencidos? Resposta: \è7.631,86.

Passo 1

Resumindo: você faz depósitos de \$200 em cada mês ímpar e de \$400 em cada mês par, durante 20 meses, todos ao final do mês, com taxa de i=2{,}5\% ao mês. O que precisamos é o valor futuro (VF) desses termos “vencidos” ao fim do 20.º mês.

Passo 2

O valor futuro geral é dado por
\mathrm{VF} \;=\;\sum_{k=1}^{20} x_k\,(1+i)^{20-k}
onde
x_k=\begin{cases} 200,&k\text{ ímpar},\\\\ 400,&k\text{ par}. \end{cases}í

Passo 3

Separe em dois somatórios: um para 200 nos meses ímpares e outro para 400 nos pares. Escrevendo-os em função de j=0,1,\dots,9:
S_1=200\sum_{j=0}^{9}(1+i)^{2j+1} \quad\text{e}\quad S_2=400\sum_{j=0}^{9}(1+i)^{2j}.
Colocando (1+i)^{2j+1}=(1+i)\bigl[(1+i)^2\bigr]^j e (1+i)^{2j}=\bigl[(1+i)^2\bigr]^j, definimos
r=(1+i)^2, \quad A=\sum_{j=0}^{9}r^j=\frac{r^{10}-1}{r-1}.
Então
\mathrm{VF}=200(1+i)\,A+400\,A =A\bigl(200(1+i)+400\bigr) =A\bigl(600+200i\bigr).

Passo 4

Substituindo i=0{,}025:
r=(1{,}025)^2=1{,}050625, \quad r^{10}\approx1{,}638641,
A=\frac{1{,}638641-1}{1{,}050625-1} \approx\frac{0{,}638641}{0{,}050625} \approx12{,}6216,
600+200i=600+200\cdot0{,}025=605,
\mathrm{VF}=605\times12{,}6216\approx7\,631{,}86.

Resposta

R$ 7.631, 86

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