Calcule as integrais nos exercícios 9-26. Verifique suas respostas diferenciando.
\int 2 x\left(1-x^{-3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\displaystyle \int 2x\bigl(1 - x^{-3}\bigr)\,dx.
O conteúdo é integração de potências, portanto vamos usar a regra
\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C (para n\neq -1).

Passo 2

Primeiro expandimos o integrando:
2x\bigl(1 - x^{-3}\bigr) \;=\; 2x \;-\; 2x^{-2}.
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\int 2x\bigl(1 - x^{-3}\bigr)\,dx \;=\; \int \bigl(2x - 2x^{-2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos cada termo separadamente:
\int 2x\,dx = 2\;\frac{x^{2}}{2} = x^{2},
\int -2x^{-2}\,dx = -2\;\frac{x^{-1}}{-1} = 2x^{-1}.
Somando e incluindo a constante C, obtemos
\int 2x\bigl(1 - x^{-3}\bigr)\,dx = x^{2} + 2x^{-1} + C = x^{2} + \frac{2}{x} + C.

Passo 4

Para verificar, derivamos
\frac{d}{dx}\Bigl(x^{2} + 2x^{-1}\Bigr) = 2x - 2x^{-2} = 2x\bigl(1 - x^{-3}\bigr),
que é exatamente o integrando original.

Resposta

\int 2x\bigl(1 - x^{-3}\bigr)\,dx = x^{2} + \frac{2}{x} + C.

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