Calcule as integrais nos exercícios 9-26. Verifique suas respostas diferenciando.
\int\left(\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{2}{\sqrt{x}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\Bigl(\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{2}{\sqrt{x}}\Bigr)\,dx
e depois verificar o resultado diferenciando. O conteúdo usado será a regra da potência para integrais e derivadas.

Passo 2

Reescrevemos a integranda em potências de x:
\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2}\,x^{\tfrac12} + 2\,x^{-\tfrac12}.

Passo 3

Agora separamos a integral em duas partes:
\int\Bigl(\frac{1}{2}\,x^{\tfrac12} + 2\,x^{-\tfrac12}\Bigr)\,dx = \frac{1}{2}\int x^{\tfrac12}\,dx + 2\int x^{-\tfrac12}\,dx.

Passo 4

Aplicamos a regra da potência \displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}:
\int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}, \qquad \int x^{-\tfrac12}\,dx = \frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,x^{\tfrac12}.
Multiplicando pelos coeficientes:
\frac{1}{2}\int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} = \frac{1}{3}\,x^{\tfrac32}, \qquad 2\int x^{-\tfrac12}\,dx = 2\cdot 2\,x^{\tfrac12} = 4\,x^{\tfrac12}.

Passo 5

Somando os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\frac{1}{3}\,x^{\tfrac32} + 4\,x^{\tfrac12} + C.

Passo 6

Verificamos derivando:
\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{1}{3}x^{\tfrac32}\Bigr) = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{3}{2}\,x^{\tfrac12} = \tfrac{1}{2}\,x^{\tfrac12}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(4\,x^{\tfrac12}\bigr) =4\cdot\tfrac{1}{2}\,x^{-\tfrac12} =2\,x^{-\tfrac12},
logo a derivada é
\tfrac{1}{2}x^{\tfrac12}+2\,x^{-\tfrac12},
que coincide com a integranda original.

Resposta

\frac{1}{3}\,x^{\tfrac32} + 4\,x^{\tfrac12} + C.

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