Calcule as integrais nos exercícios 9-26. Verifique suas respostas diferenciando.
\int\left(\frac{1}{x}-\frac{5}{x^{2}+1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{5}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx
que envolve as formas básicas \int \frac{1}{x}\,dx e \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx. Para verificar, diferenciaremos o resultado final e conferiremos se volta ao integrando.

Passo 2

Separe a integral em duas partes:
\int\frac{1}{x}\,dx \;-\;5\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Usamos as fórmulas
\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C_1, \qquad \int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x + C_2.
Aplicando:
\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert,
-5\int\frac{1}{x^{2}+1}\,dx = -5\,\arctan x.
Somando e absorvendo constantes em C, o antiderivado geral é
F(x)=\ln\lvert x\rvert -5\,\arctan x + C.

Passo 3

Verificação por diferenciação:
F'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln\lvert x\rvert\bigr) -\;5\,\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr) =\frac{1}{x}-5\cdot\frac{1}{1+x^{2}},
que coincide com o integrando original.

Resposta

\displaystyle \ln\lvert x\rvert -5\,\arctan x + C

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