Calcule as integrais nos exercícios 9-26. Verifique suas respostas diferenciando.
\int\left(\frac{1}{x^{2}}-x^{2}-\frac{1}{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada de
\frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3}
em relação a x. O conteúdo é integração de potências e constantes, usando a fórmula
\int x^{n}dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n\neq -1),
e \int a\,dx = a\,x + C.

Passo 2

Separamos a integral em três termos:
\int\frac{1}{x^{2}}\,dx \;-\;\int x^{2}\,dx \;-\;\int \frac{1}{3}\,dx.
Para cada um:
\int x^{-2}dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1},
\int x^{2}dx = \frac{x^{3}}{3},
\int \frac{1}{3}dx = \frac{x}{3}.
Somando e acrescentando a constante C, obtemos
-x^{-1} \;-\;\frac{x^{3}}{3} \;-\;\frac{x}{3} + C.

Passo 3

Para verificar, derivamos
F(x) = -\frac{1}{x} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x}{3} + C.
Temos
F'(x) = \frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3},
que coincide com o integrando, confirmando o resultado.

Resposta

-\frac{1}{x} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x}{3} + C.

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