Mostrar que um capital de \ 10.000,00 , aplicado a uma taxa de3 % ao mês, gera um total de juros no final de 12 meses identico ao valor que seria obtido caso os juros recebidos mensalmente fossem reaplicados até o final do período mencionado. Resposta: \êéí4.257,61.

Passo 1

O enunciado nos dá um capital de P = 10\,000 aplicado à taxa de i = 3\% ao mês durante n = 12 meses, e pede para mostrar que o total de juros gerado ao final é o mesmo que se obtém reinvestindo-se os juros mês a mês. O conteúdo aqui é juros compostos e progressão geométrica.

Passo 2

Pela definição de juros compostos, o montante ao fim de n meses é
M = P\,(1+i)^{n}.
O total de juros I é a diferença entre o montante e o capital:
I = M - P = P\bigl((1+i)^{n}-1\bigr).
Alternativamente, pensando nos juros mensais reinvestidos, a cada mês você recebe P\,(1+i)^{k-1}i de juros no k-ésimo mês, e o somatório desses juros forma a série geométrica
\sum_{k=1}^{n}P\,(1+i)^{k-1}i = P\,i\sum_{k=0}^{n-1}(1+i)^{k} = P\,i\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{(1+i)-1} = P\bigl((1+i)^{n}-1\bigr),
confirmando a mesma expressão para I.

Passo 3

Substituindo P=10\,000, i=0,03 e n=12 na fórmula de I:
I = 10\,000\bigl((1{,}03)^{12}-1\bigr).
Calculemos primeiro
(1{,}03)^{12}\approx 1{,}425761.

Passo 4

Logo, o total de juros é
I = 10\,000\times(1{,}425761 - 1) = 10\,000\times 0{,}425761 = 4\,257{,}61.

Resposta

O total de juros ao final de 12 meses é \$4\,257{,}61.

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