Calcule as integrais nos exercícios 9-26. Verifique suas respostas diferenciando.
\int\left(-3 \operatorname{cosec}^{2} x\right) d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral
\int\bigl(-3\csc^{2}x\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas. Vamos usar o fato de que
\frac{d}{dx}\bigl(\cot x\bigr)=-\csc^{2}x.

Passo 2

Fatorando a constante -3:
\int\bigl(-3\csc^{2}x\bigr)\,dx=-3\int\csc^{2}x\,dx.
Como \displaystyle\int\csc^{2}x\,dx=-\cot x, temos
-3\int\csc^{2}x\,dx=-3\bigl(-\cot x\bigr)=3\cot x + C.

Passo 3

Para verificar, derivamos o resultado:
\frac{d}{dx}\bigl(3\cot x\bigr)=3\cdot(-\csc^{2}x)=-3\csc^{2}x,
que coincide com o integrando original.

Resposta

3\cot x + C.

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