Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
\int_{0}^{2} \frac{d x}{8+2 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \frac{dx}{8+2x^{2}}.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 0 e 2.
  • A função a integrar é f(x)=\dfrac{1}{8+2x^{2}}.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão algébrica do integrando, fatorando constantes para deixar a integral numa forma conhecida. Observe que
8+2x^{2}=2(4+x^{2}).
Portanto
\frac{1}{8+2x^{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4+x^{2}}.
Então a integral vira
\int_{0}^{2}\frac{dx}{8+2x^{2}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\frac{dx}{x^{2}+4}.

Passo 3

Agora precisamos integrar uma função do tipo \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}. Vou apresentar a fórmula padrão e sua demonstração curta, porque é muito útil em provas.
Fórmula padrão:
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
onde a>0 e C é a constante de integração.
Demonstração rápida (substituição): faça a mudança de variável
u=\frac{x}{a}\quad\Rightarrow\quad x=au\quad\Rightarrow\quad dx=a\,du.
Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\int \frac{a\,du}{a^{2}u^{2}+a^{2}}=\int \frac{a\,du}{a^{2}(u^{2}+1)}=\frac{1}{a}\int\frac{du}{u^{2}+1}.
Sabemos que \dfrac{d}{du}\big(\arctan u\big)=\dfrac{1}{1+u^{2}}, logo
\int\frac{du}{u^{2}+1}=\arctan u + C.
Voltando para x obtemos a fórmula anunciada:
\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.

Passo 4

No nosso caso temos a^{2}=4, ou seja a=2. Aplicando a fórmula à integral imprópria dentro do fator \tfrac{1}{2},
\int \frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.
Lembrando do fator externo \tfrac{1}{2} da Passo 2, a primitiva da função original é
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva encontrada. Pelo teorema fundamental do cálculo:
\int_{0}^{2}\frac{dx}{8+2x^{2}}=\left.\frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)\right|_{0}^{2}.
Calculamos os valores nos extremos:
\arctan\!\left(\frac{2}{2}\right)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}, \qquad \arctan\!\left(\frac{0}{2}\right)=\arctan(0)=0.
Portanto
\int_{0}^{2}\frac{dx}{8+2x^{2}}=\frac{1}{4}\left(\frac{\pi}{4}-0\right)=\frac{\pi}{16}.

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio para a prova (modo prático):
  • Fatora-se 2 do denominador para obter \tfrac{1}{2}\int dx/(x^{2}+4).
  • Usa-se a primitiva padrão \int dx/(x^{2}+a^{2})=(1/a)\arctan(x/a).
  • Com a=2 e avaliando entre 0 e 2 obtém-se \pi/16.
    Força que ficou ótimo — essa é uma integral clássica e rápida de fazer assim.

Resposta

\dfrac{\pi}{16}

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