Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função a integrar é
.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão algébrica do integrando, fatorando constantes para deixar a integral numa forma conhecida. Observe que
Portanto
Então a integral vira
Passo 3
Agora precisamos integrar uma função do tipo
. Vou apresentar a fórmula padrão e sua demonstração curta, porque é muito útil em provas.
Fórmula padrão:
onde
e
é a constante de integração.
Demonstração rápida (substituição): faça a mudança de variável
Substituindo na integral:
Sabemos que
, logo
Voltando para
obtemos a fórmula anunciada:
Passo 4
No nosso caso temos
, ou seja
. Aplicando a fórmula à integral imprópria dentro do fator
,
Lembrando do fator externo
da Passo 2, a primitiva da função original é
Passo 5
Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva encontrada. Pelo teorema fundamental do cálculo:
Calculamos os valores nos extremos:
Portanto
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio para a prova (modo prático):
- Fatora-se
do denominador para obter . - Usa-se a primitiva padrão
. - Com
e avaliando entre e obtém-se .
Força que ficou ótimo — essa é uma integral clássica e rápida de fazer assim.