Calcule as integrais dos exercícios 1. a 4.
\iint_{R} \frac{y^{2}}{x^{2}+1} d y d x, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq y \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{y^{2}}{x^{2}+1}\,dy\,dx
onde R é a região triangular
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x\le y\le1\}.
O conteúdo envolve integração iterada sobre região triangular, uso de divisão polinomial para funções racionais e aplicação de integrais conhecidas (função arco-tangente e logaritmo).

Passo 2

Como a ordem é dy\,dx, para cada x\in[0,1] o y varia de y=x até y=1. Assim reescrevemos
\iint_{R}\frac{y^{2}}{x^{2}+1}\,dy\,dx =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=x}^{1}\frac{y^{2}}{x^{2}+1}\,dy\Bigr)dx.

Passo 3

No interior, x é tratado como constante, então
\int_{y=x}^{1}\frac{y^{2}}{x^{2}+1}\,dy =\frac{1}{x^{2}+1}\int_{y=x}^{1}y^{2}\,dy =\frac{1}{x^{2}+1}\,\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{y=x}^{y=1} =\frac{1}{3}\,\frac{1-x^{3}}{x^{2}+1}.

Passo 4

Substituindo de volta, fica
\iint_{R}\frac{y^{2}}{x^{2}+1}\,dy\,dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\frac{1-x^{3}}{x^{2}+1}\,dx =\frac{1}{3}\Bigl(\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}+1}\,dx-\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx\Bigr).

Passo 5

Calculamos cada integral separadamente:
\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}+1}\,dx =\arctan(x)\Big|_{0}^{1} =\frac{\pi}{4}.
Para a outra, fazemos divisão polinomial
\frac{x^{3}}{x^{2}+1}=x-\frac{x}{x^{2}+1},
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\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{x^{2}+1}\,dx =\int_{0}^{1}x\,dx-\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln 2.

Passo 6

Juntando tudo:
\iint_{R}\frac{y^{2}}{x^{2}+1}\,dy\,dx =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{\pi}{4}-\bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\ln2\bigr)\Bigr) =\frac{\pi}{12}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\ln2.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{12}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\ln2

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