Calcule as integrais dos exercícios 1. a 4.
\int_{1}^{2} \int_{0}^{x^{2}} e^{y / x} d y d x

Passo 1

O enunciado pede avaliar a integral dupla iterada
\int_{1}^{2}\int_{0}^{x^{2}}e^{y/x}\,dy\,dx.
O plano é primeiro integrar em y (mantendo x fixo) e depois integrar o resultado em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{x^{2}}e^{y/x}\,dy.
Uma primitiva de e^{y/x} em relação a y é x\,e^{y/x}. Portanto
\int_{0}^{x^{2}}e^{y/x}\,dy = \bigl[x\,e^{y/x}\bigr]_{0}^{x^{2}} = x\bigl(e^{x^{2}/x}-e^{0}\bigr) = x\bigl(e^{x}-1\bigr).

Passo 3

Substituindo na integral dupla, obtemos
\int_{1}^{2}x\bigl(e^{x}-1\bigr)\,dx = \int_{1}^{2}x e^{x}\,dx \;-\;\int_{1}^{2}x\,dx.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{1}^{2}x e^{x}\,dx por partes. Seja u=x, dv=e^{x}dx, então du=dx, v=e^{x}. Logo
\int x e^{x}\,dx = x e^{x}-\int e^{x}\,dx = x e^{x}-e^{x}.
\int_{1}^{2}x e^{x}\,dx =\bigl[x e^{x}-e^{x}\bigr]_{1}^{2} =(2e^{2}-e^{2})-(1\cdot e - e) =e^{2}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{1}^{2}x\,dx:
\int_{1}^{2}x\,dx = \bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{1}^{2} =\tfrac{4}{2}-\tfrac{1}{2} =\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Substituindo os resultados:
\int_{1}^{2}\int_{0}^{x^{2}}e^{y/x}\,dy\,dx = e^{2}-\tfrac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle e^{2}-\tfrac{3}{2}

Exercícios relacionados