Calcule as integrais dos exercícios 1. a 4.
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \int_{0}^{3 \cos \theta} r^{2} \operatorname{sen}^{2}(\theta) d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla em coordenadas polares
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{3\cos\theta}r^{2}\sin^{2}\!\theta\,dr\,d\theta.
Vamos usar a técnica de separar a integral interna em r e depois integrar em \theta, explorando simetrias.

Passo 2

Calculemos primeiro a integral interna em r:
\int_{0}^{3\cos\theta}r^{2}\,dr =\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{3\cos\theta} =\frac{(3\cos\theta)^{3}}{3} =9\cos^{3}\!\theta.
Assim a integral original vira
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}9\cos^{3}\!\theta\,\sin^{2}\!\theta\,d\theta.

Passo 3

Observe que a função f(\theta)=\cos^{3}\!\theta\,\sin^{2}\!\theta é par (pois \cos e \sin^{2} são pares), então
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}9\cos^{3}\!\theta\,\sin^{2}\!\theta\,d\theta =2\cdot9\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\!\theta\,\sin^{2}\!\theta\,d\theta =18\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\!\theta\,\sin^{2}\!\theta\,d\theta.

Passo 4

Para \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\!\theta\,\sin^{2}\!\theta\,d\theta use a substituição
\,u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta. Note que
\cos^{3}\!\theta\,d\theta=\cos^{2}\!\theta\cos\theta\,d\theta=(1-u^{2})\,du.
Então
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\!\theta\,\sin^{2}\!\theta\,d\theta =\int_{0}^{1}u^{2}(1-u^{2})\,du =\int_{0}^{1}(u^{2}-u^{4})\,du.

Passo 5

Calcule a integral em u:
\int_{0}^{1}(u^{2}-u^{4})\,du =\left[\frac{u^{3}}{3}-\frac{u^{5}}{5}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{3}-\frac{1}{5} =\frac{2}{15}.
Multiplicando por 18 (do Passo 3), obtemos
18\cdot\frac{2}{15} =\frac{36}{15} =\frac{12}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{12}{5}

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