Calcule as integrais dos exercícios 1. a 4.
\int_{3}^{4} \int_{1}^{2} \frac{d y d x}{(x+y)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral iterada
\int_{3}^{4} \int_{1}^{2} \frac{dy\,dx}{(x+y)^{2}}\,.
Aqui usamos a definição de integral dupla sobre o retângulo [3,4]\times[1,2] e a técnica de integrais iteradas, integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{1}^{2} \frac{dy}{(x+y)^{2}} = \Bigl[-\frac{1}{x+y}\Bigr]_{y=1}^{y=2} = -\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}\,.

Passo 3

Substituir no integral externa e separar em duas integrais simples:
\int_{3}^{4}\Bigl(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\Bigr)\,dx = \int_{3}^{4}\frac{dx}{x+1} \;-\;\int_{3}^{4}\frac{dx}{x+2}\,.

Passo 4

Cada termo é um logaritmo natural:
\int \frac{dx}{x+1} = \ln(x+1), \quad \int \frac{dx}{x+2} = \ln(x+2).
Portanto
\int_{3}^{4}\frac{dx}{x+1} = [\ln(x+1)]_{3}^{4} = \ln(5)-\ln(4),
\int_{3}^{4}\frac{dx}{x+2} = [\ln(x+2)]_{3}^{4} = \ln(6)-\ln(5).
Subtraindo, obtemos
(\ln(5)-\ln(4)) - (\ln(6)-\ln(5)) = 2\ln(5) - \ln(4) - \ln(6) = \ln\!\bigl(\tfrac{25}{24}\bigr).

Resposta

\ln\!\bigl(\tfrac{25}{24}\bigr)

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