Nos exercícios 9. a 10. calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies de equações dadas.
3 x+2 y+z=6, \quad x=0, \quad y=0, \quad z=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado pelo plano
3x + 2y + z = 6
e pelos planos coordenados x=0, y=0 e z=0. Vamos usar integração tripla para calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, identificamos os interceptos do plano com os eixos:
– Para y=z=0: 3x=6 x=2.
– Para x=z=0: 2y=6 y=3.
– Para x=y=0: z=6.
Logo o sólido é um tetraedro com vértices em (0,0,0), (2,0,0), (0,3,0) e (0,0,6).

Passo 3

Montamos a integral tripla com os limites naturais no primeiro octante:
V = \int_{x=0}^{2} \!\int_{y=0}^{\frac{6-3x}{2}} \!\int_{z=0}^{6-3x-2y} dz\;dy\;dx.

Passo 4

Calculando passo a passo:
  1. Integral em z:
\int_{0}^{6-3x-2y} dz = 6 - 3x - 2y.
  1. Agora em y:
\int_{0}^{\frac{6-3x}{2}} (6-3x-2y)\,dy = \bigl[(6-3x)y - y^2\bigr]_{0}^{\frac{6-3x}{2}} = \frac{(6-3x)^2}{4}.
  1. Finalmente em x:
V = \int_{0}^{2} \frac{(6-3x)^2}{4}\,dx = \frac{1}{4}\int_{0}^{2}(6-3x)^2\,dx = \frac{1}{4}\times 24 = 6.

Resposta

O volume do sólido é 6.

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