Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição e/ou as propriedades. Considere \boldsymbol{t} a variável e \boldsymbol{a} e \boldsymbol{w} constantes.
(c) \boldsymbol{a} \boldsymbol{\operatorname { c o s }} 2 \boldsymbol{t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=a\cos(2t),
onde t é a variável e a é constante. Para resolver vamos usar a definição
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
e a propriedade de linearidade da transformada, bem como a transformada conhecida de \cos.

Passo 2

Aplicando a linearidade da transformada de Laplace, temos
\mathcal{L}\{a\cos(2t)\}(s) = a\,\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s).

Passo 3

Usamos a transformada padrão
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(2t)\,dt =\frac{s}{s^{2}+2^{2}} =\frac{s}{s^{2}+4},
válida para \Re(s)>0. Logo
\mathcal{L}\{a\cos(2t)\}(s) = a\;\frac{s}{s^{2}+4}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{a\cos(2t)\}(s)=\frac{a\,s}{s^{2}+4},\quad \Re(s)>0.}

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