Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição e/ou as propriedades. Considere \boldsymbol{t} a variável e \boldsymbol{a} e \boldsymbol{w} constantes.
(d) \boldsymbol{\operatorname { c o s }}^{2} \boldsymbol{t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \cos^2 t. Vamos usar uma identidade trigonométrica para escrever \cos^2 t em termos de funções mais simples e depois aplicar a linearidade da transformada.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos^2 t = \frac{1 + \cos(2t)}{2}.

Passo 3

Pela propriedade de linearidade da transformada de Laplace,
L\{\cos^2 t\} = \frac12\,L\{1\} \;+\;\frac12\,L\{\cos(2t)\}.

Passo 4

Recordando as transformadas básicas, temos
L\{1\} = \frac1s, \quad L\{\cos(2t)\} = \frac{s}{s^2 + 4}.
Substituindo,
L\{\cos^2 t\} = \frac12\Bigl(\frac1s + \frac{s}{s^2 + 4}\Bigr).

Passo 5

Colocando em um único quociente:
\frac12\Bigl(\frac1s + \frac{s}{s^2 + 4}\Bigr) = \frac{s^2 + 2}{2\,s\,(s^2 + 4)}.

Resposta

L\{\cos^2 t\} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{s} + \frac{s}{s^2 + 4}\Bigr) = \frac{s^2 + 2}{2\,s\,(s^2 + 4)}.

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