QUESTÃO 3 [valor: 2,5 pontos]
Calcule a área sob a curva y=\frac{1}{x^{2}}\, limitada por \(x \geq \frac{1}{4} e o eixo dos x.)

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva y = \frac{1}{x^{2}} limitada por x \ge \tfrac{1}{4} e pelo eixo x. Isso envolve calcular uma integral imprópria de uma função que decai como x^{-2} no infinito.

Passo 2

Expressamos a área A como a integral imprópria
A = \int_{1/4}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} \, dx.

Passo 3

Para resolver, encontramos a antiderivada de x^{-2}. Sabemos que
\int x^{-2}\,dx = -\,x^{-1} + C.
Logo,
A = \lim_{b\to\infty} \bigl[-\,x^{-1}\bigr]_{x=1/4}^{x=b}.

Passo 4

Avaliando o limite:
A = \lim_{b\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{b} - \bigl(-\tfrac{1}{(1/4)}\bigr)\Bigr) = \lim_{b\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{b} + 4\Bigr) = 4.

Resposta

A área é 4.

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