QUESTÃO 1 [valor: 3,0 pontos]
Calcule as antiderivadas:
\int \frac{x d x}{\sqrt{x+3}}

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
\int \frac{x}{\sqrt{x+3}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, transformando a expressão em algo mais simples de integrar.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a troca
u = x + 3,
então
du = dx \qquad\text{e}\qquad x = u - 3.

Passo 3

Substituindo em \int \frac{x}{\sqrt{x+3}}\,dx, obtemos
\int \frac{u - 3}{\sqrt{u}}\,du = \int \bigl(u^{1 - \tfrac12} - 3\,u^{-\tfrac12}\bigr)\,du = \int \bigl(u^{\tfrac12} - 3\,u^{-\tfrac12}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32},
\int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,u^{\tfrac12},
portanto
\int \bigl(u^{\tfrac12} - 3\,u^{-\tfrac12}\bigr)\,du = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} - 3\cdot 2\,u^{\tfrac12} + C = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} - 6\,u^{\tfrac12} + C.

Passo 5

Volta à variável x usando u = x + 3:
\frac{2}{3}\,(x+3)^{\tfrac32} - 6\,(x+3)^{\tfrac12} + C.

Resposta

\int \frac{x}{\sqrt{x+3}}\,dx = \frac{2}{3}\,(x+3)^{\tfrac32} - 6\,(x+3)^{\tfrac12} + C.

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