Calcule as integrais explicitando as etapas usadas em sua resolução:
a) integral0^1 x cdot raiz1+3 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 x ,raiz1+3x^2,dx
Usaremos o método de substituição para integrais, que consiste em definir uma nova variável que simplifique a raiz e transforme toda a expressão em função de u.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + 3x^2,
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du = 6x,dx Longrightarrow x,dx = 16,du
Como é integral definida, ajustamos também os limites:
quando x=0, u = 1 + 3cdot0^2 = 1;
quando x=1, u = 1 + 3cdot1^2 = 4.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral0^1 x,raiz1+3x^2,dx = integralu=1^u=4 raizu,16,du = 16,integral1^4 u^tfrac12,du
Agora calculamos a antiderivada de u^1/2:
integral u^tfrac12,du = u^tfrac32tfrac32 = 23,u^tfrac32
Logo,
16,integral1^4 u^tfrac12,du = 16,gl[23,u^tfrac32gr]1^4 = 19,l[u^tfrac32r]1^4

Passo 4

Avaliamo nos limites:
u^tfrac32l|1^4 = 4^tfrac32 - 1^tfrac32 = l(raiz4r)^3 - 1 = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7
Portanto a integral vale
19times 7 = 79

Resposta

integral0^1 x ,raiz1+3x^2,dx = 79

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