Calcule a integral:
integral duplaR raiz[3]y^2-9 x^2 d x d y
onde R é o triângulo de vértices (0,6),(1,3) e (0,0), utilizando uma mudança de coordenadas apropriada.

Passo 1

O enunciado pede
integral duplaRraiz[3]y^2-9x^2,dx,dy
onde R é o triângulo de vértices (0,6), (1,3), (0,0).
Para eliminar a combinação y^2-9x^2 no radicando, vamos usar a mudança de variáveis
u = y - 3x, v = y + 3x,
pois então y^2-9x^2 = uv. Precisaremos também do Jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Invertendo a transformação:
u = y - 3x, v = y + 3x Longrightarrow y = u + v2, x = v - u6
O Jacobiano é
partial(x,y)partial(u,v) = -tfrac16 & tfrac16 [6pt] tfrac12 & tfrac12 = -tfrac112 - tfrac112 = -tfrac16,
logo l|Jr| = tfrac16. Portanto dx,dy = tfrac16,du,dv.]

Passo 3

Mapeando os vértices de R:
(0,0)mapsto(u,v)=(0,0), (0,6)mapsto(u,v)=(6,6), (1,3)mapsto(u,v)=(0,6)
No plano uv, isso forma o triângulo com vértices (0,0), (0,6), (6,6), ou seja
0<= v<=6, 0<= u<= v

Passo 4

Escrevendo a integral em u,v:
integral duplaRraiz[3]y^2-9x^2,dx,dy =integralv=0^6!integralu=0^v(uv)^1/3,16,du,dv =16integral0^6v^1/3l(integral0^vu^1/3dur)dv
Calcule a interna:
integral0^vu^1/3du =l[tfracu^4/34/3r]0^v =tfrac34,v^4/3
Logo
16integral0^6v^1/3cdottfrac34v^4/3dv =18integral0^6v^5/3dv

Passo 5

Compute a integral em v:
integral0^6v^5/3dv =l[tfracv^8/38/3r]0^6 =tfrac38,6^8/3
Multiplicando pelo fator tfrac18:
18cdot38,6^8/3 =364,6^8/3 =2716,6^2/3

Resposta

integral duplaRraiz[3]y^2-9x^2,dx,dy =2716,6^2/3

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