Calcule a integral:
onde
é o triângulo de vértices
e
, utilizando uma mudança de coordenadas apropriada.
Passo 1
O enunciado pede
onde
é o triângulo de vértices
,
,
.
Para eliminar a combinação no radicando, vamos usar a mudança de variáveis
Para eliminar a combinação
pois então
. Precisaremos também do Jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Invertendo a transformação:
O Jacobiano é
logo
l|Jr| = tfrac16 . Portanto
dx,dy = tfrac16,du,dv .]
Passo 3
Mapeando os vértices de
R :
No plano
uv , isso forma o triângulo com vértices
(0,0) ,
(0,6) ,
(6,6) , ou seja
Passo 4
Escrevendo a integral em
u,v :
Calcule a interna:
Logo
Passo 5
Compute a integral em
v :
Multiplicando pelo fator
tfrac18 :