Calcule a integral dupla da função
sobre a região
, onde
é a área delimitada entre dois círculos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função $ f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} $ sobre a região $ R $. Essa região $ R $ é a área que fica entre dois círculos: o de equação $ (x-1)^{2} + y^{2} = 1 $ e o de equação $ (x-1)^{2} + y^{2} = 4 $. A matéria que vamos usar aqui é cálculo integral em coordenadas polares, que facilita bastante quando estamos lidando com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ R $. Temos dois círculos centrados em $ (1, 0) $, um com raio 1 e outro com raio 2 (já que $ \sqrt{4} = 2 $). Então, $ R $ é uma espécie de “anel” entre esses dois círculos.
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto é descrito por $ (r, \theta) $, onde $ r $ é a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo $ x $.
Passo 3
Na mudança para coordenadas polares, temos que:
A função que vamos integrar fica:
E o elemento de área $ dA $ em coordenadas polares é $ r , dr , d\theta $. Então, a integral dupla passa a ser:
Ou seja, simplifica para apenas integrar $ dr , d\theta $ na região $ R $.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como a região $ R $ está entre os círculos $ (x-1)^{2} + y^{2} = 1 $ e $ (x-1)^{2} + y^{2} = 4 $, vamos expressar essas equações em coordenadas polares:
Então, para os dois círculos:
Então, para cada ângulo $ \theta $, o raio $ r $ varia de $ 0 $ a $ 2 \cos \theta $ para o círculo interno (quando $ r - 2 \cos \theta = 0 $) e de $ $ a $ \sqrt{3 + 2r \cos \theta} $ para o círculo externo. No entanto, isso pode complicar, então vamos simplificar observando que a simetria em torno do eixo $ x $ nos permite integrar de $ \theta = -\frac{\pi}{2} $ a $ \theta = \frac{\pi}{2} $, e $ r $ varia de $ 1 $ a $ 2 $.
Passo 5
Com os limites definidos, a integral fica:
Primeiro, integramos em relação a $ r $:
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
A integral dupla vale $ \pi $.